Algebra Esempi

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} = \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49} = 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 49}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi $49$ come $7^{2}$ .

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{y^{2} - 7^{2}} = 0$

Passaggio 2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 7$ .

$\frac{14}{y - 7} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{14}{y - 7}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14}{y - 7} \cdot \frac{y}{y} - \frac{2}{y} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- \frac{2}{y}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{14}{y - 7} \cdot \frac{y}{y} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(y - 7) y$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\frac{14}{y - 7}$ per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{14 y}{(y - 7) y} - \frac{2}{y} \cdot \frac{y - 7}{y - 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{2}{y}$ per $\frac{y - 7}{y - 7}$ .

$\frac{14 y}{(y - 7) y} - \frac{2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori di $(y - 7) y$ .

$\frac{14 y}{y (y - 7)} - \frac{2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{14 y - 2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Scomponi $2$ da $14 y - 2 (y - 7)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Scomponi $2$ da $14 y$ .

$\frac{2 (7 y) - 2 (y - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.6.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 (y - 7)$ .

$\frac{2 (7 y) + 2 (- (y - 7))}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.6.1.3

Scomponi $2$ da $2 (7 y) + 2 (- (y - 7))$ .

$\frac{2 (7 y - (y - 7))}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 (7 y - y - - 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.6.3

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$\frac{2 (7 y - y + 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.6.4

Sottrai $y$ da $7 y$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.7

Per scrivere $\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.8

Per scrivere $- \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)} \cdot \frac{y + 7}{y + 7} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Passaggio 2.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $y (y - 7) (y + 7)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.9.1

Moltiplica $\frac{2 (6 y + 7)}{y (y - 7)}$ per $\frac{y + 7}{y + 7}$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y - 7) (y + 7)} - \frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)} \cdot \frac{y}{y} = 0$

Passaggio 2.9.2

Moltiplica $\frac{19 y + 7}{(y + 7) (y - 7)}$ per $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y - 7) (y + 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Passaggio 2.9.3

Riordina i fattori di $y (y - 7) (y + 7)$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{(y + 7) (y - 7) y} = 0$

Passaggio 2.9.4

Riordina i fattori di $(y + 7) (y - 7) y$ .

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7)}{y (y + 7) (y - 7)} - \frac{(19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 (6 y + 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 (6 y) + 2 \cdot 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{(12 y + 2 \cdot 7) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.3

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\frac{(12 y + 14) (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.4

Espandi $(12 y + 14) (y + 7)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.11.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 y (y + 7) + 14 (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 y \cdot y + 12 y \cdot 7 + 14 (y + 7) - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 y \cdot y + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.5

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.11.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.11.5.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.11.5.1.1.1

Sposta $y$ .

$\frac{12 (y \cdot y) + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.5.1.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 12 y \cdot 7 + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.5.1.2

Moltiplica $7$ per $12$ .

$\frac{12 y^{2} + 84 y + 14 y + 14 \cdot 7 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.5.1.3

Moltiplica $14$ per $7$ .

$\frac{12 y^{2} + 84 y + 14 y + 98 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.5.2

Somma $84 y$ e $14 y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - (19 y + 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- (19 y) - 1 \cdot 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.7

Moltiplica $19$ per $- 1$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- 19 y - 1 \cdot 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.8

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 + (- 19 y - 7) y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.9

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 y \cdot y - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.10

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.11.10.1

Sposta $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 (y \cdot y) - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.10.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{12 y^{2} + 98 y + 98 - 19 y^{2} - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.11

Sottrai $19 y^{2}$ da $12 y^{2}$ .

$\frac{- 7 y^{2} + 98 y + 98 - 7 y}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.12

Sottrai $7 y$ da $98 y$ .

$\frac{- 7 y^{2} + 91 y + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.13

Riscrivi $- 7 y^{2} + 91 y + 98$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 2.11.13.1

Scomponi $7$ da $- 7 y^{2} + 91 y + 98$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.13.1.1

Scomponi $7$ da $- 7 y^{2}$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 91 y + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.13.1.2

Scomponi $7$ da $91 y$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 7 (13 y) + 98}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.13.1.3

Scomponi $7$ da $98$ .

$\frac{7 (- y^{2}) + 7 (13 y) + 7 (14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.13.1.4

Scomponi $7$ da $7 (- y^{2}) + 7 (13 y)$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 y) + 7 (14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.13.1.5

Scomponi $7$ da $7 (- y^{2} + 13 y) + 7 (14)$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.13.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.11.13.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot 14 = - 14$ e la cui somma è $b = 13$ .

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Passaggio 2.11.13.2.1.1

Scomponi $13$ da $13 y$ .

$\frac{7 (- y^{2} + 13 (y) + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.13.2.1.2

Riscrivi $13$ come $- 1$ più $14$ .

$\frac{7 (- y^{2} + (- 1 + 14) y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.13.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7 (- y^{2} - 1 y + 14 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.13.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.11.13.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{7 ((- y^{2} - 1 y) + 14 y + 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.13.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{7 (y (- y - 1) - 14 (- y - 1))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.11.13.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- y - 1$ .

$\frac{7 ((- y - 1) (y - 14))}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

$\frac{7 (- y - 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.12

Scomponi $- 1$ da $- y$ .

$\frac{7 (- (y) - 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.13

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{7 (- (y) - 1 (1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.14

Scomponi $- 1$ da $- (y) - 1 (1)$ .

$\frac{7 (- (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.15

Riscrivi $- (y + 1)$ come $- 1 (y + 1)$ .

$\frac{7 (- 1 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(7 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 2.17

Riordina i fattori in $- \frac{(7 (y + 1)) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)}$ .

$- \frac{7 (y + 1) (y - 14)}{y (y + 7) (y - 7)} = 0$

Passaggio 3

Poni il numeratore uguale a zero.

$7 (y + 1) (y - 14) = 0$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione per $y$ .

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Passaggio 4.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$y + 1 = 0$

$y - 14 = 0$

Passaggio 4.2

Imposta $y + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta $y + 1$ uguale a $0$ .

$y + 1 = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = - 1$

Passaggio 4.3

Imposta $y - 14$ uguale a $0$ e risolvi per $y$ .

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Passaggio 4.3.1

Imposta $y - 14$ uguale a $0$ .

$y - 14 = 0$

Passaggio 4.3.2

Somma $14$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = 14$

Passaggio 4.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $7 (y + 1) (y - 14) = 0$ vera.

$y = - 1, 14$