Algebra Esempi

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 9) = \ln (7 x) - \ln (x - 2)$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 9) = \ln (\frac{7 x}{x - 2})$

Passaggio 2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \ln (x) - \ln (2 x - 9) - \ln (\frac{7 x}{x - 2}) = 0$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Semplifica $2 \ln (x) - \ln (2 x - 9) - \ln (\frac{7 x}{x - 2})$ .

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Passaggio 3.1.1

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (x^{2}) - \ln (2 x - 9) - \ln (\frac{7 x}{x - 2}) = 0$

Passaggio 3.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 9}) - \ln (\frac{7 x}{x - 2}) = 0$

Passaggio 3.1.3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x^{2}}{2 x - 9}}{\frac{7 x}{x - 2}}) = 0$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (\frac{x^{2}}{2 x - 9} \cdot \frac{x - 2}{7 x}) = 0$

Passaggio 3.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.1.5.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 9} \cdot \frac{x - 2}{7 x}) = 0$

Passaggio 3.1.5.2

Scomponi $x$ da $7 x$ .

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 9} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 7}) = 0$

Passaggio 3.1.5.3

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{x \cdot x}{2 x - 9} \cdot \frac{x - 2}{x \cdot 7}) = 0$

Passaggio 3.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{x}{2 x - 9} \cdot \frac{x - 2}{7}) = 0$

Passaggio 3.1.6

Moltiplica $\frac{x}{2 x - 9}$ per $\frac{x - 2}{7}$ .

$\ln (\frac{x (x - 2)}{(2 x - 9) \cdot 7}) = 0$

Passaggio 3.1.7

Sposta $7$ alla sinistra di $2 x - 9$ .

$\ln (\frac{x (x - 2)}{7 (2 x - 9)}) = 0$

Passaggio 4

Riscrivi $\ln (\frac{x (x - 2)}{7 (2 x - 9)}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{x (x - 2)}{7 (2 x - 9)}$

Passaggio 5

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$x (x - 2) = e^{0} (7 (2 x - 9))$

Passaggio 6

Semplifica $e^{0} (7 (2 x - 9))$ .

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Passaggio 6.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 6.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$x (x - 2) = 1 (7 (2 x - 9))$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $7 (2 x - 9)$ per $1$ .

$x (x - 2) = 7 (2 x - 9)$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (x - 2) = 7 (2 x) + 7 \cdot - 9$

Passaggio 6.3

Moltiplica.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $2$ per $7$ .

$x (x - 2) = 14 x + 7 \cdot - 9$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $7$ per $- 9$ .

$x (x - 2) = 14 x - 63$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Sottrai $14 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x (x - 2) - 14 x = - 63$

Passaggio 7.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 14 x = - 63$

Passaggio 7.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 14 x = - 63$

Passaggio 7.2.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 2 x - 14 x = - 63$

Passaggio 7.3

Sottrai $14 x$ da $- 2 x$ .

$x^{2} - 16 x = - 63$

Passaggio 8

Scomponi $x$ da $x^{2} - 16 x$ .

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Passaggio 8.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x \cdot x - 16 x = - 63$

Passaggio 8.2

Scomponi $x$ da $- 16 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 16 = - 63$

Passaggio 8.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot - 16$ .

$x (x - 16) = - 63$

Passaggio 9

Semplifica $x (x - 16)$ .

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 16 = - 63$

Passaggio 9.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 9.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 16 = - 63$

Passaggio 9.2.2

Sposta $- 16$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 16 x = - 63$

Passaggio 10

Somma $63$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 16 x + 63 = 0$

Passaggio 11

Scomponi $x^{2} - 16 x + 63$ usando il metodo AC.

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Passaggio 11.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $63$ e la cui somma è $- 16$ .

$- 9, - 7$

Passaggio 11.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 9) (x - 7) = 0$

Passaggio 12

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 7 = 0$

Passaggio 13

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $x - 9$ uguale a $0$ .

$x - 9 = 0$

Passaggio 13.2

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 9$

Passaggio 14

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 14.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 14.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 15

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 9) (x - 7) = 0$ vera.

$x = 9, 7$