Algebra Esempi

$x (x - 2) (x + 3) = 18$

Passaggio 1

Semplifica $x (x - 2) (x + 3)$ .

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Passaggio 1.1

Semplifica moltiplicando.

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Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x \cdot x + x \cdot - 2) (x + 3) = 18$

Passaggio 1.1.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.1.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 2) (x + 3) = 18$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$(x^{2} - 2 \cdot x) (x + 3) = 18$

Passaggio 1.2

Espandi $(x^{2} - 2 x) (x + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} (x + 3) - 2 x (x + 3) = 18$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 2 x (x + 3) = 18$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} x + x^{2} \cdot 3 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 = 18$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

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Passaggio 1.3.1.1.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 3 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 = 18$

Passaggio 1.3.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 3 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 = 18$

Passaggio 1.3.1.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3} + x^{2} \cdot 3 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 = 18$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 \cdot x^{2} - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 3 = 18$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.3.1

Sposta $x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 = 18$

Passaggio 1.3.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 2 x^{2} - 2 x \cdot 3 = 18$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$x^{3} + 3 x^{2} - 2 x^{2} - 6 x = 18$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $2 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$x^{3} + x^{2} - 6 x = 18$

Passaggio 2

Sottrai $18$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} + x^{2} - 6 x - 18 = 0$

Passaggio 3

Scomponi $x^{3} + x^{2} - 6 x - 18$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 3.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 3.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Passaggio 3.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$3^{3} + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 18$

Passaggio 3.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 + 3^{2} - 6 \cdot 3 - 18$

Passaggio 3.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$27 + 9 - 6 \cdot 3 - 18$

Passaggio 3.3.4

Somma $27$ e $9$ .

$36 - 6 \cdot 3 - 18$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$36 - 18 - 18$

Passaggio 3.3.6

Sottrai $18$ da $36$ .

$18 - 18$

Passaggio 3.3.7

Sottrai $18$ da $18$ .

$0$

Passaggio 3.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 6 x - 18}{x - 3}$

Passaggio 3.5

Dividi $x^{3} + x^{2} - 6 x - 18$ per $x - 3$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$x^{2}$

$6 x$

$18$

Passaggio 3.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$

Passaggio 3.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 3.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 3.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$

Passaggio 3.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 3.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Passaggio 3.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$12 x$

Passaggio 3.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $4 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 3.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$

Passaggio 3.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$4 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Passaggio 3.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	-	$18$

Passaggio 3.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							+	$6 x$	-	$18$

Passaggio 3.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x - 18$

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$

Passaggio 3.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$4 x$	+	$6$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$18$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$4 x^{2}$	-	$6 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$6 x$	-	$18$
							-	$6 x$	+	$18$
										$0$

Passaggio 3.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 4 x + 6$

Passaggio 3.6

Scrivi $x^{3} + x^{2} - 6 x - 18$ come insieme di fattori.

$(x - 3) (x^{2} + 4 x + 6) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 4 x + 6 = 0$

Passaggio 5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6

Imposta $x^{2} + 4 x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $x^{2} + 4 x + 6$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 x + 6 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $x^{2} + 4 x + 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 6$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 6}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.3

Sottrai $24$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.4

Riscrivi $- 8$ come $- 1 (8)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (8)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.7

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1.7.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 i \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 2 \pm i \sqrt{2}$

Passaggio 6.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 2 + i \sqrt{2}, - 2 - i \sqrt{2}$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x^{2} + 4 x + 6) = 0$ vera.

$x = 3, - 2 + i \sqrt{2}, - 2 - i \sqrt{2}$

Passaggio 8