Algebra Esempi

$\frac{8}{x^{2} - 1} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{8}{x + 1} = 0$

Passaggio 1

Scomponi ogni termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{8}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{8}{x + 1} = 0$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{8}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{8}{x + 1} = 0$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$(x + 1) (x - 1), x - 1, x + 1, 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 2.5

Il fattore di $x + 1$ è $x + 1$ stesso.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.6

Il fattore di $x - 1$ è $x - 1$ stesso.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.7

Il fattore di $x + 1$ è $x + 1$ stesso.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 2.8

Il minimo comune multiplo di $x + 1, x - 1, x - 1, x + 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + 1) (x - 1)$

Passaggio 3

Moltiplica per $(x + 1) (x - 1)$ ciascun termine in $\frac{8}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{8}{x + 1} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{8}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{4 x}{x - 1} + \frac{8}{x + 1} = 0$ per $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{8}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) + \frac{4 x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) + \frac{8}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $(x + 1) (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) + \frac{4 x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) + \frac{8}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$8 + \frac{4 x}{x - 1} ((x + 1) (x - 1)) + \frac{8}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Scomponi $x - 1$ da $(x + 1) (x - 1)$ .

$8 + \frac{4 x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{8}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$8 + \frac{4 x}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{8}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$8 + 4 x (x + 1) + \frac{8}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$8 + 4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + \frac{8}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.4

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.4.1

Sposta $x$ .

$8 + 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + \frac{8}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$8 + 4 x^{2} + 4 x \cdot 1 + \frac{8}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$8 + 4 x^{2} + 4 x + \frac{8}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.6

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$8 + 4 x^{2} + 4 x + \frac{8}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$8 + 4 x^{2} + 4 x + 8 (x - 1) = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$8 + 4 x^{2} + 4 x + 8 x + 8 \cdot - 1 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.1.8

Moltiplica $8$ per $- 1$ .

$8 + 4 x^{2} + 4 x + 8 x - 8 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Combina i termini opposti in $8 + 4 x^{2} + 4 x + 8 x - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sottrai $8$ da $8$ .

$4 x^{2} + 4 x + 8 x + 0 = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $4 x^{2} + 4 x + 8 x$ e $0$ .

$4 x^{2} + 4 x + 8 x = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $4 x$ e $8 x$ .

$4 x^{2} + 12 x = 0 ((x + 1) (x - 1))$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 12 x = 0 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Passaggio 3.3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 12 x = 0 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Passaggio 3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 12 x = 0 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} + 12 x = 0 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$4 x^{2} + 12 x = 0 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$4 x^{2} + 12 x = 0 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$4 x^{2} + 12 x = 0 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Passaggio 3.3.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 x^{2} + 12 x = 0 (x^{2} - x + x - 1)$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- x$ e $x$ .

$4 x^{2} + 12 x = 0 (x^{2} + 0 - 1)$

Passaggio 3.3.2.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$4 x^{2} + 12 x = 0 (x^{2} - 1)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $0$ per $x^{2} - 1$ .

$4 x^{2} + 12 x = 0$

Passaggio 4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{2} + 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $4 x$ da $4 x^{2}$ .

$4 x (x) + 12 x = 0$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $4 x$ da $12 x$ .

$4 x (x) + 4 x (3) = 0$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $4 x$ da $4 x (x) + 4 x (3)$ .

$4 x (x + 3) = 0$

Passaggio 4.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.4

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 4.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $4 x (x + 3) = 0$ vera.

$x = 0, - 3$