Algebra Esempi

$x^{4} - 4 x^{3} - 5 x^{2} + 16 x + 4 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Raggruppa i termini.

$- 4 x^{3} + 16 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x^{3} + 16 x$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 16 x + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $- 4 x$ da $16 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 4 + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 4)$ .

$- 4 x (x^{2} - 4) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- 4 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi.

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Passaggio 1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$- 4 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 1.5

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 1.6

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} - 5 u + 4 = 0$

Passaggio 1.7

Scomponi $u^{2} - 5 u + 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.7.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $4$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 4, - 1$

Passaggio 1.7.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u - 1) = 0$

Passaggio 1.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 1.9

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 1.10

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 1.11

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 1.12

Scomponi.

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Passaggio 1.12.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 1.12.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.13

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $- 4 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

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Passaggio 1.13.1

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $- 4 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x) + (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 1.13.2

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $(x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 1.13.3

Scomponi $(x + 2) (x - 2)$ da $(x + 2) (x - 2) (- 4 x) + (x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1))$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + (x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 1.14

Espandi $(x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.14.1

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x (x - 1) + 1 (x - 1)) = 0$

Passaggio 1.14.2

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) = 0$

Passaggio 1.14.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Passaggio 1.15

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.15.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.15.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Passaggio 1.15.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Passaggio 1.15.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) = 0$

Passaggio 1.15.1.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) = 0$

Passaggio 1.15.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - x + x - 1) = 0$

Passaggio 1.15.2

Somma $- x$ e $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} + 0 - 1) = 0$

Passaggio 1.15.3

Somma $x^{2}$ e $0$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 4 x + x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 1.16

Riordina i termini.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5

Imposta $x^{2} - 4 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x^{2} - 4 x - 1$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica.

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Passaggio 5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.3.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Passaggio 5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.3

Somma $16$ e $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 5.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 5.2.3.3

Semplifica $\frac{4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{5}$

Passaggio 5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x - 2) (x^{2} - 4 x - 1) = 0$ vera.

$x = - 2, 2, 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 2, 2, 2 + \sqrt{5}, 2 - \sqrt{5}$

Forma decimale:

$x = - 2, 2, 4.23606797 \dots, - 0.23606797 \dots$

Passaggio 8