Algebra Esempi

$\ln (x) = 3 - \ln (x + 2)$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (x) + \ln (x + 2) = 3$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (x + 2)) = 3$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (x \cdot x + x \cdot 2) = 3$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (x^{2} + x \cdot 2) = 3$

Passaggio 4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\ln (x^{2} + 2 x) = 3$

Passaggio 5

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{2} + 2 x)} = e^{3}$

Passaggio 6

Riscrivi $\ln (x^{2} + 2 x) = 3$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{3} = x^{2} + 2 x$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} + 2 x = e^{3}$ .

$x^{2} + 2 x = e^{3}$

Passaggio 7.2

Sottrai $e^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 2 x - e^{3} = 0$

Passaggio 7.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 2$ e $c = - e^{3}$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- e^{3}))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5

Semplifica.

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Passaggio 7.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Passaggio 7.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.3

Riscrivi $4 + 4 e^{3}$ come $2^{2} (1 + e^{3})$ .

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Passaggio 7.5.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.3.2

Scomponi $4$ da $4 e^{3}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.3.3

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (e^{3})$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (1 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + e^{3})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.4

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1 + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.5

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{1^{3} + e^{3}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.6

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = e$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1^{2} - 1 e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.7

Semplifica.

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Passaggio 7.5.1.7.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - 1 e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.7.2

Riscrivi $- 1 e$ come $- e$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2}$

Passaggio 7.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Passaggio 7.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}, - 1 - \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Passaggio 8

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x) = 3 - \ln (x + 2)$ vera.

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 1 + \sqrt{(1 + e) (1 - e + e^{2})}$

Forma decimale:

$x = 3.59189905 \dots$