Algebra Esempi

$2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $2 \ln (x) + 3 \ln (2)$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (x)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (x^{2}) + 3 \ln (2) = 5$

Passaggio 2.1.1.2

Semplifica $3 \ln (2)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln (x^{2}) + \ln (2^{3}) = 5$

Passaggio 2.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\ln (x^{2}) + \ln (8) = 5$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2} \cdot 8) = 5$

Passaggio 2.1.3

Sposta $8$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\ln (8 x^{2}) = 5$

Passaggio 3

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (8 x^{2})} = e^{5}$

Passaggio 4

Riscrivi $\ln (8 x^{2}) = 5$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{5} = 8 x^{2}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $8 x^{2} = e^{5}$ .

$8 x^{2} = e^{5}$

Passaggio 5.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x^{2} = e^{5}$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 x^{2} = e^{5}$ .

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{e^{5}}{8}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 x^{2}}{8} = \frac{e^{5}}{8}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{e^{5}}{8}$

Passaggio 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$

Passaggio 5.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$ .

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Passaggio 5.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{e^{5}}{8}}$ come $\frac{\sqrt{e^{5}}}{\sqrt{8}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{5}}}{\sqrt{8}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.4.2.1

Riscrivi $e^{5}$ come ${(e^{2})}^{2} e$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Metti in evidenza $e^{4}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{4} e}}{\sqrt{8}}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi $e^{4}$ come ${(e^{2})}^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{{(e^{2})}^{2} e}}{\sqrt{8}}$

Passaggio 5.4.2.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{8}}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.4.3.1

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

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Passaggio 5.4.3.1.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{4 (2)}}$

Passaggio 5.4.3.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.3.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$

Passaggio 5.4.4

Moltiplica $\frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 5.4.5

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.4.5.1

Moltiplica $\frac{e^{2} \sqrt{e}}{2 \sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 5.4.5.2

Sposta $\sqrt{2}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Passaggio 5.4.5.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Passaggio 5.4.5.4

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Passaggio 5.4.5.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.4.5.6

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 5.4.5.7

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 5.4.5.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.4.5.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.4.5.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.4.5.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.4.5.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.4.5.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

Passaggio 5.4.5.7.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{e} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.4.6

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.4.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \pm \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Passaggio 5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Passaggio 5.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Passaggio 5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}, - \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Passaggio 6

Escludi le soluzioni che non rendono $2 \ln (x) + 3 \ln (2) = 5$ vera.

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{e^{2} \sqrt{2 e}}{4}$

Forma decimale:

$x = 4.30716204 \dots$