Algebra Esempi

$(x^{3} + 2 x - 1) - (2 x^{2} + 4 x - 2)$

Passaggio 1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{3} + 2 x - 1 - (2 x^{2}) - (4 x) - - 2$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{3} + 2 x - 1 - 2 x^{2} - (4 x) - - 2$

Passaggio 2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$x^{3} + 2 x - 1 - 2 x^{2} - 4 x - - 2$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$x^{3} + 2 x - 1 - 2 x^{2} - 4 x + 2$

Passaggio 3

Sottrai $4 x$ da $2 x$ .

$x^{3} - 2 x - 1 - 2 x^{2} + 2$

Passaggio 4

Somma $- 1$ e $2$ .

$x^{3} - 2 x - 2 x^{2} + 1$

Passaggio 5

Riordina i termini.

$x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1$

Passaggio 6

Scomponi $x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 6.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

Passaggio 6.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1$

Passaggio 6.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 6.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

${(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 6.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$- 1 - 2 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 6.3.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 - 2 \cdot 1 - 2 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 6.3.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 1 - 2 - 2 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 6.3.5

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$- 3 - 2 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 6.3.6

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$- 3 + 2 + 1$

Passaggio 6.3.7

Somma $- 3$ e $2$ .

$- 1 + 1$

Passaggio 6.3.8

Somma $- 1$ e $1$ .

$0$

Passaggio 6.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1}{x + 1}$

Passaggio 6.5

Dividi $x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1$ per $x + 1$ .

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Passaggio 6.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

Passaggio 6.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Passaggio 6.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 6.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 6.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Passaggio 6.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 6.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 6.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 6.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Passaggio 6.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$

Passaggio 6.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$

Passaggio 6.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$

Passaggio 6.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$
							+	$x$	+	$1$

Passaggio 6.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 1$

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$

Passaggio 6.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$3 x$
							+	$x$	+	$1$
							-	$x$	-	$1$
										$0$

Passaggio 6.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 3 x + 1$

Passaggio 6.6

Scrivi $x^{3} - 2 x^{2} - 2 x + 1$ come insieme di fattori.

$(x + 1) (x^{2} - 3 x + 1)$