Algebra Esempi

$4 x^{4} + 15 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} + 15 x^{2} - 4 = 0$

Passaggio 2

Sia $u = x^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{2}$ con $u$ .

$4 u^{2} + 15 u - 4 = 0$

Passaggio 3

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 4 = - 16$ e la cui somma è $b = 15$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $15$ da $15 u$ .

$4 u^{2} + 15 (u) - 4 = 0$

Passaggio 3.1.2

Riscrivi $15$ come $- 1$ più $16$ .

$4 u^{2} + (- 1 + 16) u - 4 = 0$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 u^{2} - 1 u + 16 u - 4 = 0$

Passaggio 3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 u^{2} - 1 u) + 16 u - 4 = 0$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (4 u - 1) + 4 (4 u - 1) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u + 4) = 0$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 1) (x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 5

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 6

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 7

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 4) = 0$

Passaggio 8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 9

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $2 x + 1$ uguale a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi $2 x + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - 1$

Passaggio 9.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 9.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 9.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 9.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 9.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 10

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 10.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

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Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 11

Imposta $x^{2} + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x^{2} + 4$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $x^{2} + 4 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = - 4$

Passaggio 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Passaggio 11.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 4}$ .

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Passaggio 11.2.3.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Passaggio 11.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 11.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Passaggio 11.2.3.4

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Passaggio 11.2.3.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm i \cdot 2$

Passaggio 11.2.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \pm 2 i$

Passaggio 11.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 2 i$

Passaggio 11.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 2 i$

Passaggio 11.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 2 i, - 2 i$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 4) = 0$ vera.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 2 i, - 2 i$