Algebra Esempi

$\ln (x) + \ln (3 x) = 14$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x (3 x)) = 14$

Passaggio 1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\ln (3 x \cdot x) = 14$

Passaggio 1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sposta $x$ .

$\ln (3 (x \cdot x)) = 14$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\ln (3 x^{2}) = 14$

Passaggio 2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (3 x^{2})} = e^{14}$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (3 x^{2}) = 14$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{14} = 3 x^{2}$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $3 x^{2} = e^{14}$ .

$3 x^{2} = e^{14}$

Passaggio 4.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = e^{14}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x^{2} = e^{14}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{e^{14}}{3}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{e^{14}}{3}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{e^{14}}{3}$

Passaggio 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{14}}{3}}$

Passaggio 4.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{e^{14}}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{e^{14}}{3}}$ come $\frac{\sqrt{e^{14}}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{14}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Riscrivi $e^{14}$ come ${(e^{7})}^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{{(e^{7})}^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{e^{7}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica $\frac{e^{7}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{e^{7}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 4.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.1

Moltiplica $\frac{e^{7}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.4.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 4.4.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 4.4.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 4.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.4.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 4.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}, - \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\ln (x) + \ln (3 x) = 14$ vera.

$x = \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{e^{7} \sqrt{3}}{3}$

Forma decimale:

$x = 633.14144922 \dots$