Algebra Esempi

$x^{- 3} = 64$

Passaggio 1

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{- 3} - 64 = 0$

Passaggio 2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{3}} - 64 = 0$

Passaggio 3

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{1^{3}}{x^{3}} - 64 = 0$

Passaggio 4

Riscrivi $\frac{1^{3}}{x^{3}}$ come ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

${(\frac{1}{x})}^{3} - 64 = 0$

Passaggio 5

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

${(\frac{1}{x})}^{3} - 4^{3} = 0$

Passaggio 6

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = \frac{1}{x}$ e $b = 4$ .

$(\frac{1}{x} - 4) ({(\frac{1}{x})}^{2} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 7.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 7.3

$\frac{1}{x}$ e $4$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + 4^{2}) = 0$

Passaggio 7.4

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{1}{x^{2}} + \frac{4}{x} + 16) = 0$

Passaggio 7.5

Riordina i termini.

$(\frac{1}{x} - 4) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Passaggio 8

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} - 4 \cdot \frac{x}{x}) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Passaggio 9

$- 4$ e $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{1}{x} + \frac{- 4 x}{x}) (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Passaggio 10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Passaggio 11

Per scrivere $\frac{4}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4}{x} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Passaggio 12

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Moltiplica $\frac{4}{x}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x}{x \cdot x} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Passaggio 12.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} + 16) = 0$

Passaggio 13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x + 1}{x^{2}} + 16) = 0$

Passaggio 14

Per scrivere $16$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot (\frac{4 x + 1}{x^{2}} + \frac{16 x^{2}}{x^{2}}) = 0$

Passaggio 15

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{4 x + 1 + 16 x^{2}}{x^{2}} = 0$

Passaggio 16

Riordina i termini.

$\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Passaggio 17

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} = 0$

$\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Passaggio 18

Imposta $\frac{1 - 4 x}{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Imposta $\frac{1 - 4 x}{x}$ uguale a $0$ .

$\frac{1 - 4 x}{x} = 0$

Passaggio 18.2

Risolvi $\frac{1 - 4 x}{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 - 4 x = 0$

Passaggio 18.2.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x = - 1$

Passaggio 18.2.2.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = - 1$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 18.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 18.2.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 18.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 19

Imposta $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Imposta $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}}$ uguale a $0$ .

$\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$

Passaggio 19.2

Risolvi $\frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Poni il numeratore uguale a zero.

$16 x^{2} + 4 x + 1 = 0$

Passaggio 19.2.2

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 19.2.2.2

Sostituisci i valori $a = 16$ , $b = 4$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (16 \cdot 1)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.3.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.3.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.3.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.3.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.3.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.3.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.3.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 19.2.2.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 19.2.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.4.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.4.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.4.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.4.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.4.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.4.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.4.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.4.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 19.2.2.4.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 19.2.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 19.2.2.4.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 19.2.2.4.6

Scomponi $- 1$ da $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{8}$

Passaggio 19.2.2.4.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{8}$

Passaggio 19.2.2.4.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 19.2.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.5.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 16 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64 \cdot 1}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.5.1.3

Sottrai $64$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.5.1.4

Riscrivi $- 48$ come $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (48)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.5.1.7

Riscrivi $48$ come $4^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.5.1.7.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.5.1.7.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.5.1.9

Sposta $4$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 16}$

Passaggio 19.2.2.5.2

Moltiplica $2$ per $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$

Passaggio 19.2.2.5.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{32}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 19.2.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 19.2.2.5.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 19.2.2.5.6

Scomponi $- 1$ da $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{8}$

Passaggio 19.2.2.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Passaggio 19.2.2.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 19.2.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 20

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\frac{1 - 4 x}{x} \cdot \frac{16 x^{2} + 4 x + 1}{x^{2}} = 0$ vera.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{8}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{8}$