Algebra Esempi

$r^{\frac{6}{5}} = 64$

Passaggio 1

Sottrai $64$ da entrambi i lati dell'equazione.

$r^{\frac{6}{5}} - 64 = 0$

Passaggio 2

Riscrivi $r^{\frac{6}{5}}$ come ${(r^{\frac{2}{5}})}^{3}$ .

${(r^{\frac{2}{5}})}^{3} - 64 = 0$

Passaggio 3

Riscrivi $64$ come $4^{3}$ .

${(r^{\frac{2}{5}})}^{3} - 4^{3} = 0$

Passaggio 4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = r^{\frac{2}{5}}$ e $b = 4$ .

$(r^{\frac{2}{5}} - 4) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi $r^{\frac{2}{5}}$ come ${(r^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

$({(r^{\frac{1}{5}})}^{2} - 4) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$({(r^{\frac{1}{5}})}^{2} - 2^{2}) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 5.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = r^{\frac{1}{5}}$ e $b = 2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) ({(r^{\frac{2}{5}})}^{2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 5.4

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{\frac{2}{5}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{2}{5} \cdot 2} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $\frac{2}{5} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

$\frac{2}{5}$ e $2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{2 \cdot 2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 5.4.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 5.5

Sposta $4$ alla sinistra di $r^{\frac{2}{5}}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{4}{5}} + 4 r^{\frac{2}{5}} + 4^{2}) = 0$

Passaggio 5.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (r^{\frac{4}{5}} + 4 r^{\frac{2}{5}} + 16) = 0$

Passaggio 5.7

Riordina i termini.

$(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Passaggio 6

Semplifica $(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Espandi $(r^{\frac{1}{5}} + 2) (r^{\frac{1}{5}} - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$(r^{\frac{1}{5}} (r^{\frac{1}{5}} - 2) + 2 (r^{\frac{1}{5}} - 2)) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Passaggio 6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2 + 2 (r^{\frac{1}{5}} - 2)) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Passaggio 6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2 + 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Passaggio 6.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Combina i termini opposti in $r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2 + 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Riordina i fattori nei termini di $r^{\frac{1}{5}} \cdot - 2$ e $2 r^{\frac{1}{5}}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} - 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Somma $- 2 r^{\frac{1}{5}}$ e $2 r^{\frac{1}{5}}$ .

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + 0 + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Somma $r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}}$ e $0$ .

$(r^{\frac{1}{5}} r^{\frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Passaggio 6.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Moltiplica $r^{\frac{1}{5}}$ per $r^{\frac{1}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(r^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Passaggio 6.2.2.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$(r^{\frac{1 + 1}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Passaggio 6.2.2.1.3

Somma $1$ e $1$ .

$(r^{\frac{2}{5}} + 2 \cdot - 2) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Passaggio 6.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$(r^{\frac{2}{5}} - 4) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16) = 0$

Passaggio 6.3

Espandi $(r^{\frac{2}{5}} - 4) (4 r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{4}{5}} + 16)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$r^{\frac{2}{5}} (4 r^{\frac{2}{5}}) + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Passaggio 6.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$4 r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Passaggio 6.4.1.2

Moltiplica $r^{\frac{2}{5}}$ per $r^{\frac{2}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.2.1

Sposta $r^{\frac{2}{5}}$ .

$4 (r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{2}{5}}) + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Passaggio 6.4.1.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 r^{\frac{2}{5} + \frac{2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Passaggio 6.4.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 r^{\frac{2 + 2}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Passaggio 6.4.1.2.4

Somma $2$ e $2$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Passaggio 6.4.1.3

Moltiplica $r^{\frac{2}{5}}$ per $r^{\frac{4}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.3.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Passaggio 6.4.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{2 + 4}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Passaggio 6.4.1.3.3

Somma $2$ e $4$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + r^{\frac{2}{5}} \cdot 16 - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Passaggio 6.4.1.4

Sposta $16$ alla sinistra di $r^{\frac{2}{5}}$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 \cdot r^{\frac{2}{5}} - 4 (4 r^{\frac{2}{5}}) - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Passaggio 6.4.1.5

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 r^{\frac{2}{5}} - 16 r^{\frac{2}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 4 \cdot 16 = 0$

Passaggio 6.4.1.6

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 r^{\frac{2}{5}} - 16 r^{\frac{2}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64 = 0$

Passaggio 6.4.2

Combina i termini opposti in $4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 16 r^{\frac{2}{5}} - 16 r^{\frac{2}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Sottrai $16 r^{\frac{2}{5}}$ da $16 r^{\frac{2}{5}}$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} + 0 - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64 = 0$

Passaggio 6.4.2.2

Somma $4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}}$ e $0$ .

$4 r^{\frac{4}{5}} + r^{\frac{6}{5}} - 4 r^{\frac{4}{5}} - 64 = 0$

Passaggio 6.4.2.3

Sottrai $4 r^{\frac{4}{5}}$ da $4 r^{\frac{4}{5}}$ .

$r^{\frac{6}{5}} + 0 - 64 = 0$

Passaggio 6.4.2.4

Somma $r^{\frac{6}{5}}$ e $0$ .

$r^{\frac{6}{5}} - 64 = 0$

Passaggio 7

Somma $64$ a entrambi i lati dell'equazione.

$r^{\frac{6}{5}} = 64$

Passaggio 8

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $\frac{5}{6}$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(r^{\frac{6}{5}})}^{\frac{5}{6}} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 9

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica ${(r^{\frac{6}{5}})}^{\frac{5}{6}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(r^{\frac{6}{5}})}^{\frac{5}{6}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r^{\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6}} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 9.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$r^{\frac{6}{5} \cdot \frac{5}{6}} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 9.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$r^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 9.1.1.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$r^{\frac{1}{5} \cdot 5} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 9.1.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$r^{1} = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 9.1.1.2

Semplifica.

$r = \pm 64^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica $\pm 64^{\frac{5}{6}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.1

Riscrivi $64$ come $2^{6}$ .

$r = \pm {(2^{6})}^{\frac{5}{6}}$

Passaggio 9.2.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \pm 2^{6 (\frac{5}{6})}$

Passaggio 9.2.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$r = \pm 2^{6 (\frac{5}{6})}$

Passaggio 9.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \pm 2^{5}$

Passaggio 9.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $5$ .

$r = \pm 32$

Passaggio 10

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$r = 32$

Passaggio 10.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$r = - 32$

Passaggio 10.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$r = 32, - 32$