Algebra Esempi

$2 \ln (2 x^{2}) = 1$

Passaggio 1

Semplifica $2 \ln (2 x^{2})$ .

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Passaggio 1.1

Semplifica $2 \ln (2 x^{2})$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(2 x^{2})}^{2}) = 1$

Passaggio 1.2

Applica la regola del prodotto a $2 x^{2}$ .

$\ln (2^{2} {(x^{2})}^{2}) = 1$

Passaggio 1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\ln (4 {(x^{2})}^{2}) = 1$

Passaggio 1.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 1.4.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (4 x^{2 \cdot 2}) = 1$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\ln (4 x^{4}) = 1$

Passaggio 2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (4 x^{4})} = e^{1}$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (4 x^{4}) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{1} = 4 x^{4}$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $4 x^{4} = e^{1}$ .

$4 x^{4} = e$

Passaggio 4.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{4} = e^{1}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{4} = e^{1}$ .

$\frac{4 x^{4}}{4} = \frac{e^{1}}{4}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{4}}{4} = \frac{e^{1}}{4}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Dividi $x^{4}$ per $1$ .

$x^{4} = \frac{e^{1}}{4}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Semplifica.

$x^{4} = \frac{e}{4}$

Passaggio 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{e}{4}}$

Passaggio 4.4

Semplifica $\pm \sqrt[4]{\frac{e}{4}}$ .

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Passaggio 4.4.1

Riscrivi $\sqrt[4]{\frac{e}{4}}$ come $\frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt[4]{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt[4]{4}}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt[4]{2^{2}}}$

Passaggio 4.4.2.2

Riscrivi $\sqrt[4]{2^{2}}$ come $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{\sqrt{2^{2}}}}$

Passaggio 4.4.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 4.4.3

Moltiplica $\frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 4.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.4.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[4]{e}}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 4.4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 4.4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 4.4.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 4.4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 4.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.4.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 4.4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 4.4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.4.5.1

Riscrivi l'espressone usando l'indice minimo comune di $4$ .

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Passaggio 4.4.5.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 4.4.5.1.2

Riscrivi $2^{\frac{1}{2}}$ come $2^{\frac{2}{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \cdot 2^{\frac{2}{4}}}{2}$

Passaggio 4.4.5.1.3

Riscrivi $2^{\frac{2}{4}}$ come $\sqrt[4]{2^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e} \sqrt[4]{2^{2}}}{2}$

Passaggio 4.4.5.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e \cdot 2^{2}}}{2}$

Passaggio 4.4.5.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{e \cdot 4}}{2}$

Passaggio 4.4.6

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt[4]{e \cdot 4}}{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Passaggio 4.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Passaggio 4.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Passaggio 4.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}, - \frac{\sqrt[4]{4 e}}{2}$

Forma decimale:

$x = 0.90794307 \dots, - 0.90794307 \dots$