Algebra Esempi

$\frac{y + 3}{y^{2} + 7 y + 12} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Scomponi $y^{2} + 7 y + 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $12$ e la cui somma è $7$ .

$3, 4$

Passaggio 1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{y + 3}{(y + 3) (y + 4)} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y + 3$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y + 3}{(y + 3) (y + 4)} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{y^{2} - 9}$

Passaggio 1.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{y^{2} - 3^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y$ e $b = 3$ .

$\frac{1}{y + 4} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$

Passaggio 2

Per scrivere $\frac{1}{y + 4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)}$ .

$\frac{1}{y + 4} \cdot \frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$

Passaggio 3

Per scrivere $- \frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{1}{y + 4} \cdot \frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4}$

Passaggio 4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(y + 4) (y + 3) (y - 3)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{y + 4}$ per $\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y - 3)}$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 4) ((y + 3) (y - 3))} - \frac{5}{(y + 3) (y - 3)} \cdot \frac{y + 4}{y + 4}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\frac{5}{(y + 3) (y - 3)}$ per $\frac{y + 4}{y + 4}$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 4) ((y + 3) (y - 3))} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y - 3) (y + 4)}$

Passaggio 4.3

Riordina i fattori di $(y + 4) ((y + 3) (y - 3))$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y - 3) (y + 4)}$

Passaggio 4.4

Riordina i fattori di $(y + 3) (y - 3) (y + 4)$ .

$\frac{(y + 3) (y - 3)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)} - \frac{5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Passaggio 5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{(y + 3) (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.1

Espandi $(y + 3) (y - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y (y - 3) + 3 (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Passaggio 6.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 (y - 3) - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Passaggio 6.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Passaggio 6.2

Combina i termini opposti in $y \cdot y + y \cdot - 3 + 3 y + 3 \cdot - 3$ .

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Passaggio 6.2.1

Riordina i fattori nei termini di $y \cdot - 3$ e $3 y$ .

$\frac{y \cdot y - 3 y + 3 y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 3 y$ e $3 y$ .

$\frac{y \cdot y + 0 + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Passaggio 6.2.3

Somma $y \cdot y$ e $0$ .

$\frac{y \cdot y + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Passaggio 6.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{y^{2} + 3 \cdot - 3 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Passaggio 6.3.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\frac{y^{2} - 9 - 5 (y + 4)}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Passaggio 6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{y^{2} - 9 - 5 y - 5 \cdot 4}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Passaggio 6.5

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$\frac{y^{2} - 9 - 5 y - 20}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$

Passaggio 6.6

Sottrai $20$ da $- 9$ .

$\frac{y^{2} - 5 y - 29}{(y + 3) (y + 4) (y - 3)}$