Algebra Esempi

$6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$

Passaggio 1

Scomponi $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 5, \pm 0.8\overline{3}, \pm 2.5, \pm 1.\overline{6}$

Passaggio 1.3

Sostituisci $0.5$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $0.5$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.3.1

Sostituisci $0.5$ nel polinomio.

$6 \cdot {0.5}^{3} + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Passaggio 1.3.2

Eleva $0.5$ alla potenza di $3$ .

$6 \cdot 0.125 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $6$ per $0.125$ .

$0.75 + 25 \cdot {0.5}^{2} - 24 \cdot 0.5 + 5$

Passaggio 1.3.4

Eleva $0.5$ alla potenza di $2$ .

$0.75 + 25 \cdot 0.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica $25$ per $0.25$ .

$0.75 + 6.25 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Passaggio 1.3.6

Somma $0.75$ e $6.25$ .

$7 - 24 \cdot 0.5 + 5$

Passaggio 1.3.7

Moltiplica $- 24$ per $0.5$ .

$7 - 12 + 5$

Passaggio 1.3.8

Sottrai $12$ da $7$ .

$- 5 + 5$

Passaggio 1.3.9

Somma $- 5$ e $5$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $0.5$ è una radice nota, dividi il polinomio per $2 x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5}{2 x - 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ per $2 x - 1$ .

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Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$25 x^{2}$

$24 x$

$5$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $6 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$3 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			+	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $6 x^{3} - 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $28 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$28 x^{2}$	-	$14 x$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $28 x^{2} - 14 x$

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 10 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	+	$5$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 10 x + 5$

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$3 x^{2}$	+	$14 x$	-	$5$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	-	$24 x$	+	$5$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$28 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$28 x^{2}$	+	$14 x$
							-	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	-	$5$
										$0$

Passaggio 1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$3 x^{2} + 14 x - 5$

Passaggio 1.6

Scrivi $6 x^{3} + 25 x^{2} - 24 x + 5$ come insieme di fattori.

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 x - 5)$

Passaggio 2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e la cui somma è $b = 14$ .

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Passaggio 2.1.1.1

Scomponi $14$ da $14 x$ .

$(2 x - 1) (3 x^{2} + 14 (x) - 5)$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi $14$ come $- 1$ più $15$ .

$(2 x - 1) (3 x^{2} + (- 1 + 15) x - 5)$

Passaggio 2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 1 x + 15 x - 5)$

Passaggio 2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x - 1) ((3 x^{2} - 1 x) + 15 x - 5)$

Passaggio 2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(2 x - 1) (x (3 x - 1) + 5 (3 x - 1))$

Passaggio 2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$(2 x - 1) ((3 x - 1) (x + 5))$

Passaggio 2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(2 x - 1) (3 x - 1) (x + 5)$