Algebra Esempi

$\sqrt{9 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova il dominio per $y = \sqrt{9 - x^{2}}$ in modo da poter scegliere una lista di valori $x$ per trovare una lista di punti che semplificherà la rappresentazione grafica del radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il radicando in $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(3 + x) (3 - x) \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 + x = 0$

$3 - x = 0$

Passaggio 1.2.2

Imposta $3 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Imposta $3 + x$ uguale a $0$ .

$3 + x = 0$

Passaggio 1.2.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 1.2.3

Imposta $3 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Imposta $3 - x$ uguale a $0$ .

$3 - x = 0$

Passaggio 1.2.3.2

Risolvi $3 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

Passaggio 1.2.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x = 3$

Passaggio 1.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3 + x) (3 - x) \geq 0$ vera.

$x = - 3, 3$

Passaggio 1.2.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 1.2.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 1.2.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$(3 - 6) (3 - (- 6)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.1.3

Il lato sinistro di $- 27$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 1.2.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(3 + 0) (3 - (0)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.2.3

Il lato sinistro di $9$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 1.2.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 1.2.6.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$(3 + 6) (3 - (6)) \geq 0$

Passaggio 1.2.6.3.3

Il lato sinistro di $- 27$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 1.2.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

Passaggio 1.2.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 3 \leq x \leq 3$

Passaggio 1.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 3, 3]$

Notazione intensiva:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Notazione degli intervalli:

$[- 3, 3]$

Notazione intensiva:

${x | - 3 \leq x \leq 3}$

Passaggio 2

Per trovare i punti finali, sostituisci i limiti dei valori $x$ nel dominio in $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 3) = \sqrt{(3 - 3) (3 - (- 3))}$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{0 (3 - (- 3))}$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f (- 3) = \sqrt{0 (3 + 3)}$

Passaggio 2.2.4

Somma $3$ e $3$ .

$f (- 3) = \sqrt{0 \cdot 6}$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $0$ per $6$ .

$f (- 3) = \sqrt{0}$

Passaggio 2.2.6

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (- 3) = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.2.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- 3) = 0$

Passaggio 2.2.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 2.3

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \sqrt{(3 + 3) (3 - (3))}$

Passaggio 2.4

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Rimuovi le parentesi.

$f (3) = \sqrt{(3 + 3) (3 - (3))}$

Passaggio 2.4.2

Somma $3$ e $3$ .

$f (3) = \sqrt{6 (3 - (3))}$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (3) = \sqrt{6 (3 - 3)}$

Passaggio 2.4.4

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (3) = \sqrt{6 \cdot 0}$

Passaggio 2.4.5

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f (3) = \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.6

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$f (3) = \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (3) = 0$

Passaggio 2.4.8

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3

I punti finali sono $(- 3, 0), (3, 0)$ .

$(- 3, 0), (3, 0)$

Passaggio 4

Seleziona alcuni valori $x$ dal dominio. Sarebbe più utile selezionare i valori in modo che si trovino vicino al valore $x$ del punto finale dell'espressione radicale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci il valore $- 2$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(- 2, \sqrt{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = \sqrt{(3 - 2) (3 - (- 2))}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 2) = \sqrt{(3 - 2) (3 - (- 2))}$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$f (- 2) = \sqrt{1 (3 - (- 2))}$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3 - (- 2)$ per $1$ .

$f (- 2) = \sqrt{3 - (- 2)}$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (- 2) = \sqrt{3 + 2}$

Passaggio 4.1.2.5

Somma $3$ e $2$ .

$f (- 2) = \sqrt{5}$

Passaggio 4.1.2.6

La risposta finale è $\sqrt{5}$ .

$y = \sqrt{5}$

Passaggio 4.2

Sostituisci il valore $- 1$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(- 1, 2 \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = \sqrt{(3 - 1) (3 - (- 1))}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (- 1) = \sqrt{(3 - 1) (3 - (- 1))}$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (- 1) = \sqrt{2 (3 - (- 1))}$

Passaggio 4.2.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- 1) = \sqrt{2 (3 + 1)}$

Passaggio 4.2.2.4

Somma $3$ e $1$ .

$f (- 1) = \sqrt{2 \cdot 4}$

Passaggio 4.2.2.5

Moltiplica $2$ per $4$ .

$f (- 1) = \sqrt{8}$

Passaggio 4.2.2.6

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.6.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (- 1) = \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 4.2.2.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (- 1) = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.2.2.7

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 1) = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.2.8

La risposta finale è $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.3

Sostituisci il valore $0$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(0, 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (0) = \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $3$ e $0$ .

$f (0) = \sqrt{3 (3 - (0))}$

Passaggio 4.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = \sqrt{3 (3 + 0)}$

Passaggio 4.3.2.4

Somma $3$ e $0$ .

$f (0) = \sqrt{3 \cdot 3}$

Passaggio 4.3.2.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (0) = \sqrt{9}$

Passaggio 4.3.2.6

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (0) = \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 4.3.2.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (0) = 3$

Passaggio 4.3.2.8

La risposta finale è $3$ .

$y = 3$

Passaggio 4.4

Sostituisci il valore $1$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(1, 2 \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \sqrt{(3 + 1) (3 - (1))}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (1) = \sqrt{(3 + 1) (3 - (1))}$

Passaggio 4.4.2.2

Somma $3$ e $1$ .

$f (1) = \sqrt{4 (3 - (1))}$

Passaggio 4.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = \sqrt{4 (3 - 1)}$

Passaggio 4.4.2.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$f (1) = \sqrt{4 \cdot 2}$

Passaggio 4.4.2.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (1) = \sqrt{8}$

Passaggio 4.4.2.6

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.6.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (1) = \sqrt{4 (2)}$

Passaggio 4.4.2.6.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Passaggio 4.4.2.7

Estrai i termini dal radicale.

$f (1) = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.4.2.8

La risposta finale è $2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 \sqrt{2}$

Passaggio 4.5

Sostituisci il valore $2$ di $x$ in $f (x) = \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ . In questo caso, il punto è $(2, \sqrt{5})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = \sqrt{(3 + 2) (3 - (2))}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f (2) = \sqrt{(3 + 2) (3 - (2))}$

Passaggio 4.5.2.2

Somma $3$ e $2$ .

$f (2) = \sqrt{5 (3 - (2))}$

Passaggio 4.5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (2) = \sqrt{5 (3 - 2)}$

Passaggio 4.5.2.4

Sottrai $2$ da $3$ .

$f (2) = \sqrt{5 \cdot 1}$

Passaggio 4.5.2.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f (2) = \sqrt{5}$

Passaggio 4.5.2.6

La risposta finale è $\sqrt{5}$ .

$y = \sqrt{5}$

Passaggio 4.6

La radice quadrata può essere rappresentata graficamente usando i punti attorno al vertice $(- 3, 0), (3, 0), (- 2, 2.24), (- 1, 2.83), (0, 3), (1, 2.83), (2, 2.24)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 2.24 \\ - 1 & 2.83 \\ 0 & 3 \\ 1 & 2.83 \\ 2 & 2.24 \\ 3 & 0 \end{array}$

Passaggio 5