Algebra Esempi

$x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 21 x - 18$

Passaggio 1

Scomponi $x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 21 x - 18$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Passaggio 1.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{4} - 5 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 21 \cdot 1 - 18$

Passaggio 1.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $4$ .

$1 - 5 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 21 \cdot 1 - 18$

Passaggio 1.3.3

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 1^{2} + 21 \cdot 1 - 18$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$1 - 5 + 1^{2} + 21 \cdot 1 - 18$

Passaggio 1.3.5

Sottrai $5$ da $1$ .

$- 4 + 1^{2} + 21 \cdot 1 - 18$

Passaggio 1.3.6

Eleva $1$ alla potenza di $2$ .

$- 4 + 1 + 21 \cdot 1 - 18$

Passaggio 1.3.7

Somma $- 4$ e $1$ .

$- 3 + 21 \cdot 1 - 18$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $21$ per $1$ .

$- 3 + 21 - 18$

Passaggio 1.3.9

Somma $- 3$ e $21$ .

$18 - 18$

Passaggio 1.3.10

Sottrai $18$ da $18$ .

$0$

Passaggio 1.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 21 x - 18}{x - 1}$

Passaggio 1.5

Dividi $x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 21 x - 18$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

Passaggio 1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

Passaggio 1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

Passaggio 1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

Passaggio 1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Passaggio 1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{3} + 4 x^{2}$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Passaggio 1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

Passaggio 1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

Passaggio 1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

Passaggio 1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Passaggio 1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{2} + 3 x$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

Passaggio 1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$18 x$

Passaggio 1.5.16

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$18 x$

$18$

Passaggio 1.5.17

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $18 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$18 x$

$18$

Passaggio 1.5.18

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$18 x$

$18$

$18 x$

$18$

Passaggio 1.5.19

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $18 x - 18$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$18 x$

$18$

$18 x$

$18$

Passaggio 1.5.20

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

$x$

$1$

$x^{4}$

$5 x^{3}$

$x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{4}$

$x^{3}$

$4 x^{3}$

$x^{2}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x^{2}$

$21 x$

$3 x^{2}$

$3 x$

$18 x$

$18$

$18 x$

$18$

$0$

Passaggio 1.5.21

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$

Passaggio 1.6

Scrivi $x^{4} - 5 x^{3} + x^{2} + 21 x - 18$ come insieme di fattori.

$(x - 1) (x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Passaggio 2.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 + 18$

Passaggio 2.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 + 18$

Passaggio 2.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 - 4 \cdot 4 - 3 \cdot - 2 + 18$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$- 8 - 16 - 3 \cdot - 2 + 18$

Passaggio 2.3.5

Sottrai $16$ da $- 8$ .

$- 24 - 3 \cdot - 2 + 18$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$- 24 + 6 + 18$

Passaggio 2.3.7

Somma $- 24$ e $6$ .

$- 18 + 18$

Passaggio 2.3.8

Somma $- 18$ e $18$ .

$0$

Passaggio 2.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18}{x + 2}$

Passaggio 2.5

Dividi $x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$3 x$

$18$

Passaggio 2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Passaggio 2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Passaggio 2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Passaggio 2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$

Passaggio 2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	+	$18$

Passaggio 2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	+	$18$

Passaggio 2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	+	$18$
							+	$9 x$	+	$18$

Passaggio 2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x + 18$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	+	$18$
							-	$9 x$	-	$18$

Passaggio 2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$3 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$9 x$	+	$18$
							-	$9 x$	-	$18$
										$0$

Passaggio 2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 6 x + 9$

Passaggio 2.6

Scrivi $x^{3} - 4 x^{2} - 3 x + 18$ come insieme di fattori.

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 6 x + 9))$

Passaggio 3

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 6 x + 3^{2}))$

Passaggio 3.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi il polinomio.

$(x - 1) ((x + 2) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}))$

Passaggio 3.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

$(x - 1) ((x + 2) {(x - 3)}^{2})$

Passaggio 3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 1) (x + 2) {(x - 3)}^{2}$