Algebra Esempi

$\log (x) + \log (2 - x) < 1$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'uguaglianza.

$\log (x) + \log (2 - x) = 1$

Passaggio 2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (x (2 - x)) = 1$

Passaggio 2.1.2

Semplifica moltiplicando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x \cdot 2 + x (- x)) = 1$

Passaggio 2.1.2.2

Riordina.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\log (2 \cdot x + x (- x)) = 1$

Passaggio 2.1.2.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\log (2 \cdot x - x \cdot x) = 1$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Sposta $x$ .

$\log (2 x - (x \cdot x)) = 1$

Passaggio 2.1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log (2 x - x^{2}) = 1$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\log (2 x - x^{2}) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x - x^{2}$

Passaggio 2.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi l'equazione come $2 x - x^{2} = 10^{1}$ .

$2 x - x^{2} = 10$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x - x^{2} - 10 = 0$

Passaggio 2.3.3

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.3.4

Sostituisci i valori $a = - 1$ , $b = 2$ e $c = - 10$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 10)}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.3.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot - 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot - 10}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.3.5.1.2.2

Moltiplica $4$ per $- 10$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 40}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.3.5.1.3

Sottrai $40$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 36}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.3.5.1.4

Riscrivi $- 36$ come $- 1 (36)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 36}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.3.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (36)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.3.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{36}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.3.5.1.7

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.3.5.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 6}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.3.5.1.9

Sposta $6$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$

Passaggio 2.3.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 6 i}{- 2}$ .

$x = 1 \pm 3 i$

Passaggio 2.3.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + 3 i, 1 - 3 i$

Passaggio 3

Trova il dominio di $\log (2 x - x^{2}) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta l'argomento in $\log (2 x - x^{2})$ in modo che sia maggiore di $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$2 x - x^{2} > 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$2 x - x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x$ da $2 x - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $2 x$ .

$x \cdot 2 - x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Scomponi $x$ da $- x^{2}$ .

$x \cdot 2 + x (- x) = 0$

Passaggio 3.2.2.3

Scomponi $x$ da $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$x (2 - x) = 0$

Passaggio 3.2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 - x = 0$

Passaggio 3.2.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.2.5

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

Passaggio 3.2.5.2

Risolvi $2 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 3.2.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 3.2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 3.2.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 3.2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 3.2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (2 - x) = 0$ vera.

$x = 0, 2$

Passaggio 3.2.7

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 3.2.8

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 3.2.8.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$2 (- 2) - {(- 2)}^{2} > 0$

Passaggio 3.2.8.1.3

Il lato sinistro di $- 8$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 3.2.8.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 3.2.8.2.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$2 (1) - {(1)}^{2} > 0$

Passaggio 3.2.8.2.3

Il lato sinistro di $1$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 3.2.8.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.8.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 3.2.8.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$2 (4) - {(4)}^{2} > 0$

Passaggio 3.2.8.3.3

Il lato sinistro di $- 8$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 3.2.8.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

Passaggio 3.2.9

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x < 2$

Passaggio 3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(0, 2)$

Passaggio 4

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Passaggio 5

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 5.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$\log (- 2) + \log (2 - (- 2)) < 1$

Passaggio 5.1.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.1.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 5.2.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\log (1) + \log (2 - (1)) < 1$

Passaggio 5.2.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $1$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 5.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\log (4) + \log (2 - (4)) < 1$

Passaggio 5.3.3

Determina se la diseguaglianza è vera.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Non è possibile risolvere l'equazione perché è indefinita.

$Indefinito$

Passaggio 5.3.3.2

Il lato sinistro non ha soluzione; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 2$ Vero

$x > 2$ Falso

Passaggio 6

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x < 2$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$0 < x < 2$

Notazione degli intervalli:

$(0, 2)$

Passaggio 8