Algebra Esempi

$f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ come un'equazione.

$y = - \frac{2 x}{x - 1}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = - \frac{2 y}{y - 1}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica l'equazione per $y - 1$ .

$(y - 1) (x) = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $(y - 1) (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y x - 1 x = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y x - x = (- \frac{2 y}{y - 1}) (y - 1)$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 y}{y - 1}$ nel numeratore.

$y x - x = \frac{- 2 y}{y - 1} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$y x - x = \frac{- 2 y}{y - 1} (y - 1)$

Passaggio 3.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$y x - x = - 2 y$

Passaggio 3.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Somma $2 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x - x + 2 y = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x + 2 y = x$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $y x + 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) + 2 y = x$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $2 y$ .

$y (x) + y \cdot 2 = x$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot 2$ .

$y (x + 2) = x$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $x + 2$ ciascun termine in $y (x + 2) = x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $x + 2$ ciascun termine in $y (x + 2) = x$ .

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{x}{x + 2}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x + 2)}{x + 2} = \frac{x}{x + 2}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x}{x + 2}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$ è l'inverso di $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- \frac{2 x}{x - 1}}{(- \frac{2 x}{x - 1}) + 2}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2 x}{x - 1} + 2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2 x}{x - 1} + \frac{2 (x - 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{- 2 x + 2 (x - 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.3

Riscrivi $\frac{- 2 x + 2 (x - 1)}{x - 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Scomponi $2$ da $- 2 x + 2 (x - 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (- x) + 2 (x - 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.3.1.2

Scomponi $2$ da $2 (- x) + 2 (x - 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (- x + x - 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Somma $- x$ e $x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 - 1)}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.3.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot - 1}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{- 2}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{1}{- \frac{2}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{- 1 \cdot - 1}{- \frac{2}{x - 1}}$

Passaggio 5.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{1}{\frac{2}{x - 1}})$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- (1 (\frac{x - 1}{2})))$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $\frac{x - 1}{2}$ per $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - \frac{2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{x - 1}{2})$

Passaggio 5.2.8

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 x}{x - 1}$ nel numeratore.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- 2 x}{x - 1} \cdot (- \frac{x - 1}{2})$

Passaggio 5.2.8.2

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x - 1}{2}$ nel numeratore.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- 2 x}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Passaggio 5.2.8.3

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{2 (- x)}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Passaggio 5.2.8.4

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{2 (- x)}{x - 1} \cdot \frac{- (x - 1)}{2}$

Passaggio 5.2.8.5

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot (- (x - 1))$

Passaggio 5.2.9

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Scomponi $x - 1$ da $- (x - 1)$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot - 1)$

Passaggio 5.2.9.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = \frac{- x}{x - 1} \cdot ((x - 1) \cdot - 1)$

Passaggio 5.2.9.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = - x \cdot - 1$

Passaggio 5.2.10

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = 1 x$

Passaggio 5.2.10.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f^{- 1} (- \frac{2 x}{x - 1}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{x}{x + 2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{2 (\frac{x}{x + 2})}{(\frac{x}{x + 2}) - 1}$

Passaggio 5.3.3

$2$ e $\frac{x}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} - 1}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} - 1 \cdot \frac{x + 2}{x + 2}}$

Passaggio 5.3.4.2

$- 1$ e $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x}{x + 2} + \frac{- (x + 2)}{x + 2}}$

Passaggio 5.3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - (x + 2)}{x + 2}}$

Passaggio 5.3.4.4

Riscrivi $\frac{x - (x + 2)}{x + 2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x - 1 \cdot 2}{x + 2}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{x - x - 2}{x + 2}}$

Passaggio 5.3.4.4.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{0 - 2}{x + 2}}$

Passaggio 5.3.4.4.4

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{\frac{- 2}{x + 2}}$

Passaggio 5.3.4.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - \frac{\frac{2 x}{x + 2}}{- \frac{2}{x + 2}}$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 x}{x + 2} \cdot (- \frac{x + 2}{2}))$

Passaggio 5.3.6

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (- \frac{2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 x}{x + 2}$ nel numeratore.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- 2 x}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Passaggio 5.3.7.2

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 (- x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Passaggio 5.3.7.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{2 (- x)}{x + 2} \cdot \frac{x + 2}{2})$

Passaggio 5.3.7.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- x}{x + 2} \cdot (x + 2))$

Passaggio 5.3.8

Elimina il fattore comune di $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{x}{x + 2}) = - (\frac{- x}{x + 2} \cdot (x + 2))$

Passaggio 5.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{x}{x + 2}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$ è l'inverso di $f (x) = - \frac{2 x}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{x + 2}$