Algebra Esempi

$\frac{- \sin^{2} (θ) + \sec^{2} (θ) - \cos^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Passaggio 1

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 1.1

Sposta $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{- \sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Passaggio 1.2

Scomponi $- 1$ da $- \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - \cos^{2} (θ) + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Passaggio 1.3

Scomponi $- 1$ da $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ)) + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Passaggio 1.4

Scomponi $- 1$ da $- (\sin^{2} (θ)) - (\cos^{2} (θ))$ .

$\frac{- (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Passaggio 2

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- 1 \cdot 1 + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{- 1^{2} + \sec^{2} (θ)}{\tan (θ)}$

Passaggio 3.2

Riordina $- 1^{2}$ e $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{\sec^{2} (θ) - 1^{2}}{\tan (θ)}$

Passaggio 3.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \sec (θ)$ e $b = 1$ .

$\frac{(\sec (θ) + 1) (\sec (θ) - 1)}{\tan (θ)}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

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Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\sec (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\sec (θ) - 1)}{\tan (θ)}$

Passaggio 3.4.2

Riscrivi $\sec (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)}{\tan (θ)}$

Passaggio 4

Riscrivi $\tan (θ)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}}$

Passaggio 5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 6

Espandi $(\frac{1}{\cos (θ)} + 1) (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{1}{\cos (θ)} (\frac{1}{\cos (θ)} - 1) + 1 (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 (\frac{1}{\cos (θ)} - 1)) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 6.3

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 7

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 7.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$ .

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Passaggio 7.1.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (θ)}$ per $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$(\frac{1}{\cos (θ) \cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 7.1.1.2

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 7.1.1.3

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 7.1.1.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(\frac{1}{{\cos (θ)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 7.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} \cdot - 1 + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 7.1.2

$\frac{1}{\cos (θ)}$ e $- 1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} + \frac{- 1}{\cos (θ)} + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 7.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} - \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 7.1.4

Moltiplica $\frac{1}{\cos (θ)}$ per $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} - \frac{1}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} + 1 \cdot - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} - \frac{1}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ)} - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 7.2

Somma $- \frac{1}{\cos (θ)}$ e $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} + 0 - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 7.3

Somma $\frac{1}{\cos^{2} (θ)}$ e $0$ .

$(\frac{1}{\cos^{2} (θ)} - 1) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 8

Semplifica i termini.

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Passaggio 8.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} - 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 8.2

Combina.

$\frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)} - 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 8.3

Riscrivi $- 1 \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ come $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $\cos (θ)$ e $\cos^{2} (θ)$ .

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Passaggio 8.4.1

Scomponi $\cos (θ)$ da $1 \cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 8.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.4.2.1

Scomponi $\cos (θ)$ da $\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 8.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 8.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 9

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.1

Frazioni separate.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 9.2

Converti da $\frac{1}{\cos (θ)}$ a $\sec (θ)$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ) - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 9.3

Converti da $\frac{1}{\sin (θ)}$ a $\csc (θ)$ .

$\csc (θ) \sec (θ) - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 9.4

Converti da $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ a $\cot (θ)$ .

$\csc (θ) \sec (θ) - \cot (θ)$