Algebra Esempi

$\sqrt{2 x + y} < \sqrt{3 x - y - 1}$

Passaggio 1

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.1

Per rimuovere il radicale del lato sinistro della diseguaglianza, eleva al quadrato entrambi i lati della diseguaglianza.

${\sqrt{2 x + y}}^{2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni lato della diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x + y}$ come ${(2 x + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Passaggio 1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Semplifica ${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Passaggio 1.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 x + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Passaggio 1.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 x + y)}^{1} < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Passaggio 1.2.2.1.2

Semplifica.

$2 x + y < {\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.3.1

Riscrivi ${\sqrt{3 x - y - 1}}^{2}$ come $3 x - y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x - y - 1}$ come ${(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x + y < {({(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 1.2.3.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 1.2.3.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.2.3.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.2.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 1.2.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x + y < {(3 x - y - 1)}^{1}$

Passaggio 1.2.3.1.5

Semplifica.

$2 x + y < 3 x - y - 1$

Passaggio 1.3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 1.3.1

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro della diseguaglianza.

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Passaggio 1.3.1.1

Aggiungi $y$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 x + y + y < 3 x - 1$

Passaggio 1.3.1.2

Somma $y$ e $y$ .

$2 x + 2 y < 3 x - 1$

Passaggio 1.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro della diseguaglianza.

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Passaggio 1.3.2.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 y < 3 x - 1 - 2 x$

Passaggio 1.3.2.2

Sottrai $2 x$ da $3 x$ .

$2 y < x - 1$

Passaggio 1.3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y < x - 1$ e semplifica.

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Passaggio 1.3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y < x - 1$ .

$\frac{2 y}{2} < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y}{2} < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y < \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Passaggio 1.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y < \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Trova il coefficiente angolare e l'intercetta di y della retta di confine.

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Passaggio 2.1

Riscrivi in forma esplicita.

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Passaggio 2.1.1

L'equazione in forma esplicita di una retta è $y = m x + b$ , dove $m$ è il coefficiente angolare e $b$ è l'intercetta di y.

$y = m x + b$

Passaggio 2.1.2

Riordina i termini.

$y < \frac{1}{2} x - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2

Usa l'equazione in forma esplicita di una retta per determinare il coefficiente angolare e l'intercetta di y.

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Passaggio 2.2.1

Trova i valori di $m$ e $b$ usando la forma $y = m x + b$ .

$m = \frac{1}{2}$

$b = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.2

Il coefficiente angolare della retta è il valore di $m$ e l'intercetta di y è il valore di $b$ .

Coefficiente angolare: $\frac{1}{2}$

Intercetta di y: $(0, - \frac{1}{2})$

Coefficiente angolare: $\frac{1}{2}$

Intercetta di y: $(0, - \frac{1}{2})$

Coefficiente angolare: $\frac{1}{2}$

Intercetta di y: $(0, - \frac{1}{2})$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente una retta tratteggiata, poi ombreggia l'area sotto la retta di confine poiché $y$ è inferiore a $\frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .

$y < \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 4