Algebra Esempi

$\frac{\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}}{\frac{14 x^{2} - 22 x - 12}{x^{2} - 25}}$

Passaggio 1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{x^{2} - 25}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

Passaggio 2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{x^{2} - 5^{2}}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

Passaggio 2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{14 x^{2} - 22 x - 12}$

Passaggio 3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.1

Scomponi $2$ da $14 x^{2} - 22 x - 12$ .

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Passaggio 3.1.1

Scomponi $2$ da $14 x^{2}$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) - 22 x - 12}$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $2$ da $- 22 x$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x) - 12}$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x) + 2 (- 6)}$

Passaggio 3.1.4

Scomponi $2$ da $2 (7 x^{2}) + 2 (- 11 x)$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)}$

Passaggio 3.1.5

Scomponi $2$ da $2 (7 x^{2} - 11 x) + 2 (- 6)$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 x - 6)}$

Passaggio 3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 7 \cdot - 6 = - 42$ e la cui somma è $b = - 11$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $- 11$ da $- 11 x$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} - 11 (x) - 6)}$

Passaggio 3.2.1.2

Riscrivi $- 11$ come $3$ più $- 14$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} + (3 - 14) x - 6)}$

Passaggio 3.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x^{2} + 3 x - 14 x - 6)}$

Passaggio 3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 ((7 x^{2} + 3 x) - 14 x - 6)}$

Passaggio 3.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x (7 x + 3) - 2 (7 x + 3))}$

Passaggio 3.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $7 x + 3$ .

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 ((7 x + 3) (x - 2))}$

$(\frac{3}{x^{2} + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1

Scomponi $x$ da $x^{2} + 5 x$ .

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Passaggio 4.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$(\frac{3}{x \cdot x + 5 x} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $x$ da $5 x$ .

$(\frac{3}{x \cdot x + x \cdot 5} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x \cdot 5$ .

$(\frac{3}{x (x + 5)} + \frac{4}{x^{2} + 6 x + 5}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 4.2

Scomponi $x^{2} + 6 x + 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $5$ e la cui somma è $6$ .

$1, 5$

Passaggio 4.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(\frac{3}{x (x + 5)} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 5

Per scrivere $\frac{3}{x (x + 5)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(\frac{3}{x (x + 5)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 6

Per scrivere $\frac{4}{(x + 1) (x + 5)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{3}{x (x + 5)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x}{x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 7

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (x + 5) (x + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $\frac{3}{x (x + 5)}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 5) (x + 1)} + \frac{4}{(x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{x}{x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\frac{4}{(x + 1) (x + 5)}$ per $\frac{x}{x}$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 5) (x + 1)} + \frac{4 x}{(x + 1) (x + 5) x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 7.3

Riordina i fattori di $x (x + 5) (x + 1)$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1) (x + 5)} + \frac{4 x}{(x + 1) (x + 5) x}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 7.4

Riordina i fattori di $(x + 1) (x + 5) x$ .

$(\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1) (x + 5)} + \frac{4 x}{x (x + 1) (x + 5)}) \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 (x + 1) + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot 1 + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{3 x + 3 + 4 x}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 9.3

Somma $3 x$ e $4 x$ .

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (7 x + 3) (x - 2)}$

Passaggio 10

Semplifica i termini.

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Passaggio 10.1

Elimina il fattore comune di $7 x + 3$ .

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Passaggio 10.1.1

Scomponi $7 x + 3$ da $2 (7 x + 3) (x - 2)$ .

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(7 x + 3) (2 (x - 2))}$

Passaggio 10.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 x + 3}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{(7 x + 3) (2 (x - 2))}$

Passaggio 10.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x (x + 1) (x + 5)} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune di $x + 5$ .

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Passaggio 10.2.1

Scomponi $x + 5$ da $x (x + 1) (x + 5)$ .

$\frac{1}{(x + 5) (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

Passaggio 10.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{(x + 5) (x (x + 1))} \cdot \frac{(x + 5) (x - 5)}{2 (x - 2)}$

Passaggio 10.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x (x + 1)} \cdot \frac{x - 5}{2 (x - 2)}$

Passaggio 10.3

Moltiplica $\frac{1}{x (x + 1)}$ per $\frac{x - 5}{2 (x - 2)}$ .

$\frac{x - 5}{x (x + 1) (2 (x - 2))}$

Passaggio 10.4

Sposta $2$ alla sinistra di $x (x + 1)$ .

$\frac{x - 5}{2 x (x + 1) (x - 2)}$