Algebra Esempi

$y = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}} = x$ .

$\frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}} = x$

Passaggio 2.2

Moltiplica ogni lato per $1 + \sqrt{y}$ .

$\frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}} (1 + \sqrt{y}) = x (1 + \sqrt{y})$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $1 + \sqrt{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{y}} (1 + \sqrt{y}) = x (1 + \sqrt{y})$

Passaggio 2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - \sqrt{y} = x (1 + \sqrt{y})$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica $x (1 + \sqrt{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 - \sqrt{y} = x \cdot 1 + x \sqrt{y}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$1 - \sqrt{y} = x + x \sqrt{y}$

Passaggio 2.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Risolvi per $\sqrt{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Sottrai $x \sqrt{y}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$1 - \sqrt{y} - x \sqrt{y} = x$

Passaggio 2.4.1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sqrt{y} - x \sqrt{y} = x - 1$

Passaggio 2.4.1.3

Scomponi $\sqrt{y}$ da $- \sqrt{y} - x \sqrt{y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.3.1

Scomponi $\sqrt{y}$ da $- \sqrt{y}$ .

$\sqrt{y} \cdot - 1 - x \sqrt{y} = x - 1$

Passaggio 2.4.1.3.2

Scomponi $\sqrt{y}$ da $- x \sqrt{y}$ .

$\sqrt{y} \cdot - 1 + \sqrt{y} (- x) = x - 1$

Passaggio 2.4.1.3.3

Scomponi $\sqrt{y}$ da $\sqrt{y} \cdot - 1 + \sqrt{y} (- x)$ .

$\sqrt{y} (- 1 - x) = x - 1$

Passaggio 2.4.1.4

Dividi per $- 1 - x$ ciascun termine in $\sqrt{y} (- 1 - x) = x - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.4.1

Dividi per $- 1 - x$ ciascun termine in $\sqrt{y} (- 1 - x) = x - 1$ .

$\frac{\sqrt{y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Passaggio 2.4.1.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{y} (- 1 - x)}{- 1 - x} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Passaggio 2.4.1.4.2.1.2

Dividi $\sqrt{y}$ per $1$ .

$\sqrt{y} = \frac{x}{- 1 - x} + \frac{- 1}{- 1 - x}$

Passaggio 2.4.1.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.4.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{y} = \frac{x - 1}{- 1 - x}$

Passaggio 2.4.1.4.3.2

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\sqrt{y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - x}$

Passaggio 2.4.1.4.3.3

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\sqrt{y} = \frac{x - 1}{- 1 (1) - (x)}$

Passaggio 2.4.1.4.3.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (x)$ .

$\sqrt{y} = \frac{x - 1}{- 1 (1 + x)}$

Passaggio 2.4.1.4.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sqrt{y} = - \frac{x - 1}{1 + x}$

Passaggio 2.4.2

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y}}^{2} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Passaggio 2.4.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Passaggio 2.4.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Passaggio 2.4.3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Passaggio 2.4.3.2.1.2

Semplifica.

$y = {(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Passaggio 2.4.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.1

Semplifica ${(- \frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{x - 1}{1 + x}$ .

$y = {(- 1)}^{2} {(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$

Passaggio 2.4.3.3.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{x - 1}{1 + x}$ .

$y = {(- 1)}^{2} \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3.3.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$y = 1 \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 2.4.3.3.1.3

Moltiplica $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ per $1$ .

$y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{((\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) - 1)}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Rimuovi le parentesi.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{((\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) - 1)}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} - 1 \cdot \frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.2

$- 1$ e $\frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} + \frac{- (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - \sqrt{x} - (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.4

Riscrivi $\frac{1 - \sqrt{x} - (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - x^{\frac{1}{2}} - (1 + \sqrt{x})}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.4.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{1 - x^{\frac{1}{2}} - (1 + x^{\frac{1}{2}})}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.4.3

Sia $u = x^{\frac{1}{2}}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x^{\frac{1}{2}}$ con $u$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{- 2 u}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.4.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{{(\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{{(- 2 x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.6.1

Applica la regola del prodotto a $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{{(- 2)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.6.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.6.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.6.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.6.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.6.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.6.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.6.4

Semplifica.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.7

Riscrivi ${(1 + \sqrt{x})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.8

Espandi $(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.8.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 (1 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (1 + \sqrt{x})}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} (1 + \sqrt{x})}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.8.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.9.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9.1.2

Moltiplica $\sqrt{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9.1.3

Moltiplica $\sqrt{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9.1.4

Moltiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.9.1.4.1

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9.1.4.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9.1.5

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.9.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.9.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9.1.5.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.4.9.2

Somma $\sqrt{x}$ e $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(1 + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{1 + \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}} + \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{1 + \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.5.3

Riscrivi $\frac{1 + \sqrt{x} + 1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.3.1

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{2 + \sqrt{x} - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.5.3.2

Sottrai $\sqrt{x}$ da $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{2 + 0}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.5.3.3

Somma $2$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{{(\frac{2}{1 + \sqrt{x}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.5.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{2^{2}}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}$

Passaggio 4.2.5.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{{(1 + \sqrt{x})}^{2}}}$

Passaggio 4.2.5.6

Riscrivi ${(1 + \sqrt{x})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})}}$

Passaggio 4.2.5.7

Espandi $(1 + \sqrt{x}) (1 + \sqrt{x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 (1 + \sqrt{x}) + \sqrt{x} (1 + \sqrt{x})}}$

Passaggio 4.2.5.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} (1 + \sqrt{x})}}$

Passaggio 4.2.5.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Passaggio 4.2.5.8

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.8.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + 1 \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Passaggio 4.2.5.8.1.2

Moltiplica $\sqrt{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 1 + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Passaggio 4.2.5.8.1.3

Moltiplica $\sqrt{x}$ per $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Passaggio 4.2.5.8.1.4

Moltiplica $\sqrt{x} \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.8.1.4.1

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Passaggio 4.2.5.8.1.4.2

Eleva $\sqrt{x}$ alla potenza di $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + \sqrt{x} \sqrt{x}}}$

Passaggio 4.2.5.8.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{1 + 1}}}$

Passaggio 4.2.5.8.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {\sqrt{x}}^{2}}}$

Passaggio 4.2.5.8.1.5

Riscrivi ${\sqrt{x}}^{2}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.8.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Passaggio 4.2.5.8.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Passaggio 4.2.5.8.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}}$

Passaggio 4.2.5.8.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.8.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x^{\frac{2}{2}}}}$

Passaggio 4.2.5.8.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x}}$

Passaggio 4.2.5.8.1.5.5

Semplifica.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + \sqrt{x} + \sqrt{x} + x}}$

Passaggio 4.2.5.8.2

Somma $\sqrt{x}$ e $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{\frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}{\frac{4}{1 + 2 \sqrt{x} + x}}$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot \frac{1 + 2 \sqrt{x} + x}{4}$

Passaggio 4.2.7

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{4 (x)}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot \frac{1 + 2 \sqrt{x} + x}{4}$

Passaggio 4.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{4 x}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot \frac{1 + 2 \sqrt{x} + x}{4}$

Passaggio 4.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{x}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot (1 + 2 \sqrt{x} + x)$

Passaggio 4.2.8

Elimina il fattore comune di $1 + 2 \sqrt{x} + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = \frac{x}{1 + 2 \sqrt{x} + x} \cdot (1 + 2 \sqrt{x} + x)$

Passaggio 4.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1 - \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Passaggio 4.3.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Riscrivi $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ come ${(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1 - \sqrt{{(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Passaggio 4.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1 - \frac{x - 1}{1 + x}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Passaggio 4.3.3.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{1 + x}{1 + x} - \frac{x - 1}{1 + x}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Passaggio 4.3.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{1 + x - (x - 1)}{1 + x}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Passaggio 4.3.3.5

Riordina i termini.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Passaggio 4.3.3.6

Riscrivi $\frac{x + 1 - (x - 1)}{x + 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Passaggio 4.3.3.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{x + 1 - x + 1}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Passaggio 4.3.3.6.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{0 + 1 + 1}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Passaggio 4.3.3.6.4

Somma $0$ e $1$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{1 + 1}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Passaggio 4.3.3.6.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{1 + \sqrt{\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}}}$

Passaggio 4.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Riscrivi $\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ come ${(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{1 + \sqrt{{(\frac{x - 1}{1 + x})}^{2}}}$

Passaggio 4.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{1 + \frac{x - 1}{1 + x}}$

Passaggio 4.3.4.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{1 + x}{1 + x} + \frac{x - 1}{1 + x}}$

Passaggio 4.3.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{1 + x + x - 1}{1 + x}}$

Passaggio 4.3.4.5

Riordina i termini.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}}$

Passaggio 4.3.4.6

Riscrivi $\frac{x + x + 1 - 1}{x + 1}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.6.1

Somma $x$ e $x$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{2 x + 1 - 1}{x + 1}}$

Passaggio 4.3.4.6.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{2 x + 0}{x + 1}}$

Passaggio 4.3.4.6.3

Somma $2 x$ e $0$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{\frac{2}{x + 1}}{\frac{2 x}{x + 1}}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2 x}$

Passaggio 4.3.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.6.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2 (x)}$

Passaggio 4.3.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{2}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{2 x}$

Passaggio 4.3.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x}$

Passaggio 4.3.7

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x + 1}{x}$

Passaggio 4.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = \frac{1}{x}$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1 - \sqrt{x}}{1 + \sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$