Algebra Esempi

$12 x^{\frac{7}{2}} - 108 x^{3} = 0$

Passaggio 1

Trova un fattore comune $x^{3}$ che è presente in ciascun termine.

$12 {(x^{3})}^{\frac{7}{6}} - 108 x^{3}$

Passaggio 2

Sostituisci $u$ a $x^{3}$ .

$12 {(u)}^{\frac{7}{6}} - 108 u = 0$

Passaggio 3

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $12 u$ da $12 u^{\frac{7}{6}} - 108 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $12 u$ da $12 u^{\frac{7}{6}}$ .

$12 u (u^{\frac{1}{6}}) - 108 u = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi $12 u$ da $- 108 u$ .

$12 u (u^{\frac{1}{6}}) + 12 u (- 9) = 0$

Passaggio 3.1.3

Scomponi $12 u$ da $12 u (u^{\frac{1}{6}}) + 12 u (- 9)$ .

$12 u (u^{\frac{1}{6}} - 9) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $u$ uguale a $0$ .

$u = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $u^{\frac{1}{6}} - 9$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $u^{\frac{1}{6}} - 9$ uguale a $0$ .

$u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $u^{\frac{1}{6}} - 9 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Somma $9$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{\frac{1}{6}} = 9$

Passaggio 3.4.2.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $6$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(u^{\frac{1}{6}})}^{6} = 9^{6}$

Passaggio 3.4.2.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1

Semplifica ${(u^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{6}})}^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 9^{6}$

Passaggio 3.4.2.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$u^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 9^{6}$

Passaggio 3.4.2.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{1} = 9^{6}$

Passaggio 3.4.2.3.1.1.2

Semplifica.

$u = 9^{6}$

Passaggio 3.4.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.3.2.1

Eleva $9$ alla potenza di $6$ .

$u = 531441$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 u (u^{\frac{1}{6}} - 9) = 0$ vera.

$u = 0, 531441$

Passaggio 4

Sostituisci $x$ a $u$ .

$x^{3} = 0, 531441$

Passaggio 5

Risolvi per $x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 5.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 6

Risolvi per $x^{3} = 531441$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sottrai $531441$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 531441 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi $531441$ come $81^{3}$ .

$x^{3} - 81^{3} = 0$

Passaggio 6.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 81$ .

$(x - 81) (x^{2} + x \cdot 81 + 81^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Sposta $81$ alla sinistra di $x$ .

$(x - 81) (x^{2} + 81 x + 81^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.3.2

Eleva $81$ alla potenza di $2$ .

$(x - 81) (x^{2} + 81 x + 6561) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 81 = 0$

$x^{2} + 81 x + 6561 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x - 81$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $x - 81$ uguale a $0$ .

$x - 81 = 0$

Passaggio 6.4.2

Somma $81$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 81$

Passaggio 6.5

Imposta $x^{2} + 81 x + 6561$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $x^{2} + 81 x + 6561$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 81 x + 6561 = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $x^{2} + 81 x + 6561 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 81$ e $c = 6561$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 81 \pm \sqrt{81^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 6561)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.1

Eleva $81$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 4 \cdot 1 \cdot 6561}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 6561$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 4 \cdot 6561}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $6561$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{6561 - 26244}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.3

Sottrai $26244$ da $6561$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 19683}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.4

Riscrivi $- 19683$ come $- 1 (19683)$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19683}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (19683)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19683}$ .

$x = \frac{- 81 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19683}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{19683}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.7

Riscrivi $19683$ come $81^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1.7.1

Scomponi $6561$ da $19683$ .

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{6561 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.7.2

Riscrivi $6561$ come $81^{2}$ .

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot \sqrt{81^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 81 \pm i \cdot (81 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.1.9

Sposta $81$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 81 \pm 81 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 81 \pm 81 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.5.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 81) (x^{2} + 81 x + 6561) = 0$ vera.

$x = 81, - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 0, 81, - \frac{81 - 81 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{81 + 81 i \sqrt{3}}{2}$