Algebra Esempi

$2 \cdot \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16) + \ln (a + 7)$

Passaggio 1

Semplifica le espressioni nell'equazione.

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Passaggio 1.1

Semplifica il lato sinistro.

$2 \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \ln (16) + \ln (a + 7)$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 1.2.1

$\frac{1}{4}$ e $\ln (16)$ .

$2 \ln (a + 3) = \frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $2 \ln (a + 3)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$

Passaggio 3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1

Semplifica $\frac{\ln (16)}{4} + \ln (a + 7)$ .

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Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1.1

Riscrivi $\ln (16)$ come $\ln (2^{4})$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{\ln (2^{4})}{4} + \ln (a + 7)$

Passaggio 3.1.1.2

Espandi $\ln (2^{4})$ spostando $4$ fuori dal logaritmo.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{4 \ln (2)}{4} + \ln (a + 7)$

Passaggio 3.1.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 3.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \frac{4 \ln (2)}{4} + \ln (a + 7)$

Passaggio 3.1.1.3.2

Dividi $\ln (2)$ per $1$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2) + \ln (a + 7)$

Passaggio 3.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 (a + 7))$

Passaggio 3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 a + 2 \cdot 7)$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $2$ per $7$ .

$\ln ({(a + 3)}^{2}) = \ln (2 a + 14)$

Passaggio 4

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

${(a + 3)}^{2} = 2 a + 14$

Passaggio 5

Risolvi per $a$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti $a$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $2 a$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(a + 3)}^{2} - 2 a = 14$

Passaggio 5.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.2.1

Riscrivi ${(a + 3)}^{2}$ come $(a + 3) (a + 3)$ .

$(a + 3) (a + 3) - 2 a = 14$

Passaggio 5.1.2.2

Espandi $(a + 3) (a + 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$a (a + 3) + 3 (a + 3) - 2 a = 14$

Passaggio 5.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$a \cdot a + a \cdot 3 + 3 (a + 3) - 2 a = 14$

Passaggio 5.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$a \cdot a + a \cdot 3 + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Passaggio 5.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1.2.3.1.1

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a^{2} + a \cdot 3 + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Passaggio 5.1.2.3.1.2

Sposta $3$ alla sinistra di $a$ .

$a^{2} + 3 \cdot a + 3 a + 3 \cdot 3 - 2 a = 14$

Passaggio 5.1.2.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$a^{2} + 3 a + 3 a + 9 - 2 a = 14$

Passaggio 5.1.2.3.2

Somma $3 a$ e $3 a$ .

$a^{2} + 6 a + 9 - 2 a = 14$

Passaggio 5.1.3

Sottrai $2 a$ da $6 a$ .

$a^{2} + 4 a + 9 = 14$

Passaggio 5.2

Sottrai $14$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a^{2} + 4 a + 9 - 14 = 0$

Passaggio 5.3

Sottrai $14$ da $9$ .

$a^{2} + 4 a - 5 = 0$

Passaggio 5.4

Scomponi $a^{2} + 4 a - 5$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 5$ e la cui somma è $4$ .

$- 1, 5$

Passaggio 5.4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(a - 1) (a + 5) = 0$

Passaggio 5.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$a - 1 = 0$

$a + 5 = 0$

Passaggio 5.6

Imposta $a - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

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Passaggio 5.6.1

Imposta $a - 1$ uguale a $0$ .

$a - 1 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$a = 1$

Passaggio 5.7

Imposta $a + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $a$ .

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Passaggio 5.7.1

Imposta $a + 5$ uguale a $0$ .

$a + 5 = 0$

Passaggio 5.7.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a = - 5$

Passaggio 5.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(a - 1) (a + 5) = 0$ vera.

$a = 1, - 5$

Passaggio 6

Escludi le soluzioni che non rendono $2 \cdot \ln (a + 3) = \frac{1}{4} \cdot \ln (16) + \ln (a + 7)$ vera.

$a = 1$