Algebra Esempi

$\frac{a}{x + a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x + c}$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x + a, x - b, x + c$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 1.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 1.4

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 1.5

Il fattore di $x + a$ è $x + a$ stesso.

$(x + a) = x + a$

$(x + a)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.6

Il fattore di $x - b$ è $x - b$ stesso.

$(x - b) = x - b$

$(x - b)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.7

Il fattore di $x + c$ è $x + c$ stesso.

$(x + c) = x + c$

$(x + c)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 1.8

Il minimo comune multiplo di $x + a, x - b, x + c$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$(x + a) (x - b) (x + c)$

Passaggio 2

Moltiplica per $(x + a) (x - b) (x + c)$ ciascun termine in $\frac{a}{x + a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x + c}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{a}{x + a} + \frac{b}{x - b} = \frac{a + b}{x + c}$ per $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$\frac{a}{x + a} ((x + a) (x - b) (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x + a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Scomponi $x + a$ da $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$\frac{a}{x + a} ((x + a) ((x - b) (x + c))) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{a}{x + a} ((x + a) ((x - b) (x + c))) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$a ((x - b) (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.2

Espandi $(x - b) (x + c)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$a (x (x + c) - b (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$a (x \cdot x + x c - b (x + c)) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$a (x \cdot x + x c - b x - b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$a (x^{2} + x c - b x - b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$a x^{2} + a (x c) + a (- b x) + a (- b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.5.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a x^{2} + a x c - a b x + a (- b c) + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + \frac{b}{x - b} ((x + a) (x - b) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.6

Elimina il fattore comune di $x - b$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.6.1

Scomponi $x - b$ da $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + \frac{b}{x - b} ((x - b) ((x + a) (x + c))) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + \frac{b}{x - b} ((x - b) ((x + a) (x + c))) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b ((x + a) (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.7

Espandi $(x + a) (x + c)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x (x + c) + a (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x \cdot x + x c + a (x + c)) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.7.3

Applica la proprietà distributiva.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x \cdot x + x c + a x + a c) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.8

Moltiplica $x$ per $x$ .

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b (x^{2} + x c + a x + a c) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.9

Applica la proprietà distributiva.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b (x c) + b (a x) + b (a c) = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.1.10

Rimuovi le parentesi.

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b x c + b a x + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.2

Combina i termini opposti in $a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b x c + b a x + b a c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Riordina i fattori nei termini di $- a b x$ e $b a x$ .

$a x^{2} + a x c - a b x - a b c + b x^{2} + b x c + a b x + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $- a b x$ e $a b x$ .

$a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c + 0 + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.2.3

Somma $a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c$ e $0$ .

$a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c + b a c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.2.4

Riordina i fattori nei termini di $- a b c$ e $b a c$ .

$a x^{2} + a x c - a b c + b x^{2} + b x c + a b c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.2.5

Somma $- a b c$ e $a b c$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c + 0 = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.2.2.6

Somma $a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c$ e $0$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = \frac{a + b}{x + c} ((x + a) (x - b) (x + c))$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $x + c$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi $x + c$ da $(x + a) (x - b) (x + c)$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = \frac{a + b}{x + c} ((x + c) ((x + a) (x - b)))$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = \frac{a + b}{x + c} ((x + c) ((x + a) (x - b)))$

Passaggio 2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) ((x + a) (x - b))$

Passaggio 2.3.2

Espandi $(x + a) (x - b)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x (x - b) + a (x - b))$

Passaggio 2.3.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x \cdot x + x (- b) + a (x - b))$

Passaggio 2.3.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x \cdot x + x (- b) + a x + a (- b))$

Passaggio 2.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x^{2} + x (- b) + a x + a (- b))$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x^{2} - x b + a x + a (- b))$

Passaggio 2.3.3.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = (a + b) (x^{2} - x b + a x - a b)$

Passaggio 2.3.4

Espandi $(a + b) (x^{2} - x b + a x - a b)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a (- x b) + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (a x) + b (- a b)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Combina i termini opposti in $a x^{2} + a (- x b) + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (a x) + b (- a b)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Riordina i fattori nei termini di $a (- x b)$ e $b (a x)$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} - a b x + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + a b x + b (- a b)$

Passaggio 2.3.5.1.2

Somma $- a b x$ e $a b x$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + 0 + b (- a b)$

Passaggio 2.3.5.1.3

Somma $a x^{2} + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b)$ e $0$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a (a x) + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1.1

Sposta $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a \cdot a x + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Passaggio 2.3.5.2.1.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x + a (- a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Passaggio 2.3.5.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a (a b) + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Passaggio 2.3.5.2.3

Moltiplica $a$ per $a$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.3.1

Sposta $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - (a \cdot a) b + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Passaggio 2.3.5.2.3.2

Moltiplica $a$ per $a$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} + b (- x b) + b (- a b)$

Passaggio 2.3.5.2.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b (x b) + b (- a b)$

Passaggio 2.3.5.2.5

Moltiplica $b$ per $b$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.5.1

Sposta $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - (b \cdot b) x + b (- a b)$

Passaggio 2.3.5.2.5.2

Moltiplica $b$ per $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x + b (- a b)$

Passaggio 2.3.5.2.6

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b (a b)$

Passaggio 2.3.5.2.7

Moltiplica $b$ per $b$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.7.1

Sposta $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - (b \cdot b) a$

Passaggio 2.3.5.2.7.2

Moltiplica $b$ per $b$ .

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c = a x^{2} + a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b^{2} a$

Passaggio 3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sottrai $a x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} = a^{2} x - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b^{2} a$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $a^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x = - a^{2} b + b x^{2} - b^{2} x - b^{2} a$

Passaggio 3.1.3

Sottrai $b x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x - b x^{2} = - a^{2} b - b^{2} x - b^{2} a$

Passaggio 3.1.4

Somma $b^{2} x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Passaggio 3.1.5

Combina i termini opposti in $a x^{2} + a x c + b x^{2} + b x c - a x^{2} - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.5.1

Sottrai $a x^{2}$ da $a x^{2}$ .

$a x c + b x^{2} + b x c + 0 - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Passaggio 3.1.5.2

Somma $a x c + b x^{2} + b x c$ e $0$ .

$a x c + b x^{2} + b x c - a^{2} x - b x^{2} + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Passaggio 3.1.5.3

Sottrai $b x^{2}$ da $b x^{2}$ .

$a x c + b x c - a^{2} x + 0 + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Passaggio 3.1.5.4

Somma $a x c + b x c - a^{2} x$ e $0$ .

$a x c + b x c - a^{2} x + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Passaggio 3.2

Scomponi $x$ da $a x c + b x c - a^{2} x + b^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $x$ da $a x c$ .

$x (a c) + b x c - a^{2} x + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $x$ da $b x c$ .

$x (a c) + x (b c) - a^{2} x + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $x$ da $- a^{2} x$ .

$x (a c) + x (b c) + x (- a^{2}) + b^{2} x = - a^{2} b - b^{2} a$

Passaggio 3.2.4

Scomponi $x$ da $b^{2} x$ .

$x (a c) + x (b c) + x (- a^{2}) + x b^{2} = - a^{2} b - b^{2} a$

Passaggio 3.2.5

Scomponi $x$ da $x (a c) + x (b c)$ .

$x (a c + b c) + x (- a^{2}) + x b^{2} = - a^{2} b - b^{2} a$

Passaggio 3.2.6

Scomponi $x$ da $x (a c + b c) + x (- a^{2})$ .

$x (a c + b c - a^{2}) + x b^{2} = - a^{2} b - b^{2} a$

Passaggio 3.2.7

Scomponi $x$ da $x (a c + b c - a^{2}) + x b^{2}$ .

$x (a c + b c - a^{2} + b^{2}) = - a^{2} b - b^{2} a$

Passaggio 3.3

Dividi per $a c + b c - a^{2} + b^{2}$ ciascun termine in $x (a c + b c - a^{2} + b^{2}) = - a^{2} b - b^{2} a$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $a c + b c - a^{2} + b^{2}$ ciascun termine in $x (a c + b c - a^{2} + b^{2}) = - a^{2} b - b^{2} a$ .

$\frac{x (a c + b c - a^{2} + b^{2})}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} = \frac{- a^{2} b}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} + \frac{- b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $a c + b c - a^{2} + b^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x (a c + b c - a^{2} + b^{2})}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} = \frac{- a^{2} b}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} + \frac{- b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- a^{2} b}{a c + b c - a^{2} + b^{2}} + \frac{- b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{- a^{2} b - b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2

Scomponi $a b$ da $- a^{2} b - b^{2} a$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Scomponi $a b$ da $- a^{2} b$ .

$x = \frac{a b (- a) - b^{2} a}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Scomponi $a b$ da $- b^{2} a$ .

$x = \frac{a b (- a) + a b (- b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Scomponi $a b$ da $a b (- a) + a b (- b)$ .

$x = \frac{a b (- a - b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 3.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- a$ .

$x = \frac{a b (- (a) - b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 3.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- b$ .

$x = \frac{a b (- (a) - (b))}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 3.3.3.5

Scomponi $- 1$ da $- (a) - (b)$ .

$x = \frac{a b (- (a + b))}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 3.3.3.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.6.1

Riscrivi $- (a + b)$ come $- 1 (a + b)$ .

$x = \frac{a b (- 1 (a + b))}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 3.3.3.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{(a b) (a + b)}{a c + b c - a^{2} + b^{2}}$