Algebra Esempi

$(y^{4} + 8 y^{3} + 16 y^{2}) - (y^{2} + 8 y + 16)$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$y^{4} + 8 y^{3} + 16 y^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Passaggio 2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $y^{4}$ come ${(y^{2})}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + 8 y^{3} + 16 y^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Passaggio 2.2

Riscrivi $16 y^{2}$ come ${(4 y)}^{2}$ .

${(y^{2})}^{2} + 8 y^{3} + {(4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Passaggio 2.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 y^{3} = 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y)$

Passaggio 2.4

Riscrivi il polinomio.

${(y^{2})}^{2} + 2 \cdot y^{2} \cdot (4 y) + {(4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Passaggio 2.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = y^{2}$ e $b = 4 y$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 16)$

Passaggio 3

Riscrivi $y^{2} + 8 y + 16$ come ${(y + 4)}^{2}$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 8 y + 4^{2})$

Passaggio 3.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 y = 2 \cdot y \cdot 4$

Passaggio 3.3

Riscrivi il polinomio.

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - (y^{2} + 2 \cdot y \cdot 4 + 4^{2})$

Passaggio 3.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = y$ e $b = 4$ .

${(y^{2} + 4 y)}^{2} - {(y + 4)}^{2}$

Passaggio 4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = y^{2} + 4 y$ e $b = y + 4$ .

$(y^{2} + 4 y + y + 4) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$((y^{2} + 4 y) + y + 4) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Passaggio 5.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(y (y + 4) + 1 (y + 4)) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Passaggio 5.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $y + 4$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - (y + 4))$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - y - 1 \cdot 4)$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 4 y - y - 4)$

Passaggio 5.5

Sottrai $y$ da $4 y$ .

$(y + 4) (y + 1) (y^{2} + 3 y - 4)$

Passaggio 5.6

Scomponi.

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Passaggio 5.6.1

Scomponi $y^{2} + 3 y - 4$ usando il metodo AC.

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Passaggio 5.6.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 4$ e la cui somma è $3$ .

$- 1, 4$

Passaggio 5.6.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(y + 4) (y + 1) ((y - 1) (y + 4))$

Passaggio 5.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(y + 4) (y + 1) (y - 1) (y + 4)$

Passaggio 5.7

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 5.7.1

Eleva $y + 4$ alla potenza di $1$ .

${(y + 4)}^{1} (y + 4) (y + 1) (y - 1)$

Passaggio 5.7.2

Eleva $y + 4$ alla potenza di $1$ .

${(y + 4)}^{1} {(y + 4)}^{1} (y + 1) (y - 1)$

Passaggio 5.7.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(y + 4)}^{1 + 1} (y + 1) (y - 1)$

Passaggio 5.7.4

Somma $1$ e $1$ .

${(y + 4)}^{2} (y + 1) (y - 1)$