Algebra Esempi

$3^{2 x} - 5 \cdot 3^{x} = - 6$

Passaggio 1

Riscrivi $3^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

${(3^{x})}^{2} - 5 \cdot 3^{x} = - 6$

Passaggio 2

Sostituisci $u$ a $3^{x}$ .

$u^{2} - 5 u = - 6$

Passaggio 3

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.1

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} - 5 u + 6 = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $u^{2} - 5 u + 6$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $6$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 3, - 2$

Passaggio 3.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(u - 3) (u - 2) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u - 2 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 3$

Passaggio 3.5

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 2$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(u - 3) (u - 2) = 0$ vera.

$u = 3, 2$

Passaggio 4

Sostituisci $3$ a $u$ in $u = 3^{x}$ .

$3 = 3^{x}$

Passaggio 5

Risolvi $3 = 3^{x}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $3^{x} = 3$ .

$3^{x} = 3$

Passaggio 5.2

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$3^{x} = 3^{1}$

Passaggio 5.3

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = 1$

Passaggio 6

Sostituisci $2$ a $u$ in $u = 3^{x}$ .

$2 = 3^{x}$

Passaggio 7

Risolvi $2 = 3^{x}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $3^{x} = 2$ .

$3^{x} = 2$

Passaggio 7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (2)$

Passaggio 7.3

Espandi $\ln (3^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (2)$

Passaggio 7.4

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $x \ln (3) = \ln (2)$ e semplifica.

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Passaggio 7.4.1

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $x \ln (3) = \ln (2)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

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Passaggio 7.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Passaggio 7.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Passaggio 8

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = 1, \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 1, \frac{\ln (2)}{\ln (3)}$

Forma decimale:

$x = 1, 0.63092975 \dots$