Algebra Esempi

$f (x) = x + \sqrt{x}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = x + \sqrt{x}$ come un'equazione.

$y = x + \sqrt{x}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = y + \sqrt{y}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $y + \sqrt{y} = x$ .

$y + \sqrt{y} = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{y} = x - y$

Passaggio 3.3

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y}}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Semplifica.

$y = {(x - y)}^{2}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Semplifica ${(x - y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.1

Riscrivi ${(x - y)}^{2}$ come $(x - y) (x - y)$ .

$y = (x - y) (x - y)$

Passaggio 3.4.3.1.2

Espandi $(x - y) (x - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = x (x - y) - y (x - y)$

Passaggio 3.4.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

Passaggio 3.4.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

Passaggio 3.4.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.4

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.1.4.1

Sposta $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.4.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

Passaggio 3.4.3.1.3.1.6

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

Passaggio 3.4.3.1.3.2

Sottrai $y x$ da $- x y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1.3.2.1

Sposta $y$ .

$y = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

Passaggio 3.4.3.1.3.2.2

Sottrai $x y$ da $- x y$ .

$y = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = y$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - y = 0$

Passaggio 3.5.3

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.5.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2 x - 1$ e $c = x^{2}$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{- (- 2 x - 1) \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.5.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.5.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.5.1.4

Riscrivi $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ come ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.5.1.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = - 2 x - 1$ e $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.5.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1.6.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.5.1.6.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.5.1.6.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.5.1.6.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.5.1.6.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.5.1.6.6

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Passaggio 3.5.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.4

Riscrivi $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ come ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = - 2 x - 1$ e $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.6.1.6.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.6.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.6.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.6.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.6.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.1.6.6

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Passaggio 3.5.6.3

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Passaggio 3.5.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{- (- 2 x) + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot x^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.4

Riscrivi $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ come ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{{(- 2 x - 1)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = - 2 x - 1$ e $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.7.1.6.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(- 2 x - 1 + 2 x) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.6.2

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{(0 - 1) (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.6.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.6.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.6.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 2 x - 1 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.1.6.6

Sottrai $2 x$ da $- 2 x$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.5.7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{2 x + 1 \pm \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Passaggio 3.5.7.3

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Passaggio 3.5.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

$y = \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Passaggio 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ è l'inverso di $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Il dominio dell'inverso è l'intervallo della funzione originale e viceversa. Trova il dominio e l'intervallo di $f (x) = x + \sqrt{x}$ e $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ e confrontali.

Passaggio 5.2

Trova l'intervallo di $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[0, \infty)$

Passaggio 5.3

Trova il dominio di $\frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta il radicando in $\sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$

Passaggio 5.3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 (- 4 x - 1) \geq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 1 (- 4 x - 1)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{- 4 x - 1}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Dividi $- 4 x - 1$ per $1$ .

$- 4 x - 1 \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.3.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$- 4 x - 1 \leq 0$

Passaggio 5.3.2.2

Aggiungi $1$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$- 4 x \leq 1$

Passaggio 5.3.2.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x \leq 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x \leq 1$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Passaggio 5.3.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x}{- 4} \geq \frac{1}{- 4}$

Passaggio 5.3.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{1}{- 4}$

Passaggio 5.3.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.3.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Passaggio 5.4

Poiché il dominio di $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ non è uguale all'intervallo di $f (x) = x + \sqrt{x}$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{2 x + 1 + \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}, \frac{2 x + 1 - \sqrt{- 1 (- 4 x - 1)}}{2}$ non è un inverso di $f (x) = x + \sqrt{x}$ .

Non c'è alcun inverso

Passaggio 6