Algebra Esempi

$\log_{4} (2 m^{3} - 14 m^{2}) - \log_{4} (2 m) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{3} - 14 m^{2}}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.2

Scomponi $2 m^{2}$ da $2 m^{3} - 14 m^{2}$ .

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $2 m^{2}$ da $2 m^{3}$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m) - 14 m^{2}}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $2 m^{2}$ da $- 14 m^{2}$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m) + 2 m^{2} (- 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $2 m^{2}$ da $2 m^{2} (m) + 2 m^{2} (- 7)$ .

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m - 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{4} (\frac{2 m^{2} (m - 7)}{2 m}) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{4} (\frac{m^{2} (m - 7)}{m}) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $m^{2}$ e $m$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $m$ da $m^{2} (m - 7)$ .

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m}) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.2.1

Eleva $m$ alla potenza di $1$ .

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m}) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.4.2.2

Scomponi $m$ da $m^{1}$ .

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m \cdot 1}) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$\log_{4} (\frac{m (m (m - 7))}{m \cdot 1}) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\log_{4} (\frac{m (m - 7)}{1}) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.4.2.5

Dividi $m (m - 7)$ per $1$ .

$\log_{4} (m (m - 7)) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.5

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{4} (m \cdot m + m \cdot - 7) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.6.1

Moltiplica $m$ per $m$ .

$\log_{4} (m^{2} + m \cdot - 7) = \log_{4} (8)$

Passaggio 1.6.2

Sposta $- 7$ alla sinistra di $m$ .

$\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \log_{4} (8)$

Passaggio 2

Il logaritmo in base $4$ di $8$ è $\frac{3}{2}$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi come un'equazione.

$\log_{4} (8) = x$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\log_{4} (8) = x$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ non è uguale a $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{x} = 8$

Passaggio 2.3

Crea nell'equazione espressioni che abbiano tutte basi uguali.

${(2^{2})}^{x} = 2^{3}$

Passaggio 2.4

Riscrivi ${(2^{2})}^{x}$ come $2^{2 x}$ .

$2^{2 x} = 2^{3}$

Passaggio 2.5

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$2 x = 3$

Passaggio 2.6

Risolvi per $x$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.7

La variabile $x$ è uguale a $\frac{3}{2}$ .

$\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \frac{3}{2}$

Passaggio 3

Riscrivi $\log_{4} (m^{2} - 7 m) = \frac{3}{2}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{\frac{3}{2}} = m^{2} - 7 m$

Passaggio 4

Risolvi per $m$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $m^{2} - 7 m = 4^{\frac{3}{2}}$ .

$m^{2} - 7 m = 4^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica $4^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$m^{2} - 7 m = {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$m^{2} - 7 m = 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$m^{2} - 7 m = 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Passaggio 4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$m^{2} - 7 m = 2^{3}$

Passaggio 4.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$m^{2} - 7 m = 8$

Passaggio 4.3

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$m^{2} - 7 m - 8 = 0$

Passaggio 4.4

Scomponi $m^{2} - 7 m - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 4.4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 7$ .

$- 8, 1$

Passaggio 4.4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(m - 8) (m + 1) = 0$

Passaggio 4.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$m - 8 = 0$

$m + 1 = 0$

Passaggio 4.6

Imposta $m - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $m$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $m - 8$ uguale a $0$ .

$m - 8 = 0$

Passaggio 4.6.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$m = 8$

Passaggio 4.7

Imposta $m + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $m$ .

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Passaggio 4.7.1

Imposta $m + 1$ uguale a $0$ .

$m + 1 = 0$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$m = - 1$

Passaggio 4.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(m - 8) (m + 1) = 0$ vera.

$m = 8, - 1$

Passaggio 5

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{4} (2 m^{3} - 14 m^{2}) - \log_{4} (2 m) = \log_{4} (8)$ vera.

$m = 8$