Algebra Esempi

$f (x) = \log_{3} (\frac{x}{3})$

Passaggio 1

Trova gli asintoti.

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Passaggio 1.1

Trova dove l'espressione $\log_{3} (x) - 1$ è indefinita.

$x \leq 0$

Passaggio 1.2

Poiché $\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $0$ da sinistra e $\log_{3} (x) - 1$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $0$ da destra, allora $x = 0$ è un asintoto verticale.

$x = 0$

Passaggio 1.3

Ignorando il logaritmo, considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 1.4

Non ci sono asintoti orizzontali perché $Q (x)$ è $1$ .

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 1.5

Non sono presenti asintoti obliqui per le funzioni logaritmiche e trigonometriche.

Nessun asintoto obliquo

Passaggio 1.6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = 0$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti verticali: $x = 0$

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 2

Trova il punto in corrispondenza di $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = \log_{3} (\frac{1}{3})$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 2.2.1

Il logaritmo in base $3$ di $\frac{1}{3}$ è $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Riscrivi come un'equazione.

$\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi $\log_{3} (\frac{1}{3}) = x$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ non è uguale a $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{1}{3}$

Passaggio 2.2.1.3

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$3^{x} = 3^{- 1}$

Passaggio 2.2.1.4

Poiché le basi sono uguali, le due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = - 1$

Passaggio 2.2.1.5

La variabile $x$ è uguale a $- 1$ .

$f (1) = - 1$

Passaggio 2.2.2

La risposta finale è $- 1$ .

$- 1$

Passaggio 2.3

Converti $- 1$ in decimale.

$y = - 1$

Passaggio 3

Trova il punto in corrispondenza di $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f (3) = \log_{3} (\frac{3}{3})$

Passaggio 3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi $3$ per $3$ .

$f (3) = \log_{3} (1)$

Passaggio 3.2.2

Il logaritmo in base $3$ di $1$ è $0$ .

$f (3) = 0$

Passaggio 3.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.3

Converti $0$ in decimale.

$y = 0$

Passaggio 4

Trova il punto in corrispondenza di $x = 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $9$ nell'espressione.

$f (9) = \log_{3} (\frac{9}{3})$

Passaggio 4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Il logaritmo in base $3$ di $\frac{9}{3}$ è $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Riscrivi come un'equazione.

$\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi $\log_{3} (\frac{9}{3}) = x$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ non è uguale a $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{x} = \frac{9}{3}$

Passaggio 4.2.1.3

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$3^{x} = 3^{1}$

Passaggio 4.2.1.4

Poiché le basi sono uguali, le due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = 1$

Passaggio 4.2.1.5

La variabile $x$ è uguale a $1$ .

$f (9) = 1$

Passaggio 4.2.2

La risposta finale è $1$ .

$1$

Passaggio 4.3

Converti $1$ in decimale.

$y = 1$

Passaggio 5

La funzione logaritmo può essere rappresentata graficamente usando l'asintoto verticale in $x = 0$ e i punti $(1, - 1), (3, 0), (9, 1)$ .

Asintoto verticale: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & - 1 \\ 3 & 0 \\ 9 & 1 \end{array}$

Passaggio 6