Algebra Esempi

$2^{x} + 2^{- x} = \frac{5}{2}$

Passaggio 1

Riscrivi $2^{- x}$ come un elevamento a potenza.

$2^{x} + {(2^{x})}^{- 1} = \frac{5}{2}$

Passaggio 2

Sostituisci $u$ a $2^{x}$ .

$u + u^{- 1} = \frac{5}{2}$

Passaggio 3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$

Passaggio 4

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, u, 2$

Passaggio 4.1.2

Poiché $1, u, 2$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $1, 1, 2$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $u^{1}$ .

Passaggio 4.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 4.1.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 4.1.5

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 4.1.6

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 2$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 4.1.7

Il fattore di $u^{1}$ è $u$ stesso.

$u^{1} = u$

$u$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 4.1.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $u^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$u$

Passaggio 4.1.9

Il minimo comune multiplo di $1, u, 2$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 u$

Passaggio 4.2

Moltiplica per $2 u$ ciascun termine in $u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica ogni termine in $u + \frac{1}{u} = \frac{5}{2}$ per $2 u$ .

$u (2 u) + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 u \cdot u + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $u$ per $u$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Sposta $u$ .

$2 (u \cdot u) + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Moltiplica $u$ per $u$ .

$2 u^{2} + \frac{1}{u} (2 u) = \frac{5}{2} (2 u)$

Passaggio 4.2.2.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 u^{2} + 2 \frac{1}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

Passaggio 4.2.2.1.4

$2$ e $\frac{1}{u}$ .

$2 u^{2} + \frac{2}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

Passaggio 4.2.2.1.5

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$2 u^{2} + \frac{2}{u} u = \frac{5}{2} (2 u)$

Passaggio 4.2.2.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 u)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 u$ .

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 (u))$

Passaggio 4.2.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 u^{2} + 2 = \frac{5}{2} (2 u)$

Passaggio 4.2.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$2 u^{2} + 2 = 5 u$

Passaggio 4.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sottrai $5 u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 u^{2} + 2 - 5 u = 0$

Passaggio 4.3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Riordina i termini.

$2 u^{2} - 5 u + 2 = 0$

Passaggio 4.3.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 2 = 4$ e la cui somma è $b = - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scomponi $- 5$ da $- 5 u$ .

$2 u^{2} - 5 u + 2 = 0$

Passaggio 4.3.2.2.2

Riscrivi $- 5$ come $- 1$ più $- 4$ .

$2 u^{2} + (- 1 - 4) u + 2 = 0$

Passaggio 4.3.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} - 1 u - 4 u + 2 = 0$

Passaggio 4.3.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 u^{2} - 1 u) - 4 u + 2 = 0$

Passaggio 4.3.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (2 u - 1) - 2 (2 u - 1) = 0$

Passaggio 4.3.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u - 2) = 0$

Passaggio 4.3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u - 2 = 0$

Passaggio 4.3.4

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 4.3.4.2

Risolvi $2 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 4.3.4.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.4.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.5

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 2$

Passaggio 4.3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 u - 1) (u - 2) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{2}, 2$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{1}{2}$ a $u$ in $u = 2^{x}$ .

$\frac{1}{2} = 2^{x}$

Passaggio 6

Risolvi $\frac{1}{2} = 2^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $2^{x} = \frac{1}{2}$ .

$2^{x} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$2^{x} = \frac{1}{2^{1}}$

Passaggio 6.3

Sposta $2^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2^{x} = 2^{- 1}$

Passaggio 6.4

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = - 1$

Passaggio 7

Sostituisci $2$ a $u$ in $u = 2^{x}$ .

$2 = 2^{x}$

Passaggio 8

Risolvi $2 = 2^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi l'equazione come $2^{x} = 2$ .

$2^{x} = 2$

Passaggio 8.2

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$2^{x} = 2^{1}$

Passaggio 8.3

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = 1$

Passaggio 9

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = - 1, 1$