Algebra Esempi

$p (x) = x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$

Passaggio 1

Scomponi $x$ da $x^{5} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $x$ da $x^{5}$ .

$p (x) = x \cdot x^{4} - 4 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$

Passaggio 1.2

Scomponi $x$ da $- 4 x^{3}$ .

$p (x) = x \cdot x^{4} + x (- 4 x^{2}) - 2 x^{2} - 4 x$

Passaggio 1.3

Scomponi $x$ da $- 2 x^{2}$ .

$p (x) = x \cdot x^{4} + x (- 4 x^{2}) + x (- 2 x) - 4 x$

Passaggio 1.4

Scomponi $x$ da $- 4 x$ .

$p (x) = x \cdot x^{4} + x (- 4 x^{2}) + x (- 2 x) + x \cdot - 4$

Passaggio 1.5

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{4} + x (- 4 x^{2})$ .

$p (x) = x (x^{4} - 4 x^{2}) + x (- 2 x) + x \cdot - 4$

Passaggio 1.6

Scomponi $x$ da $x (x^{4} - 4 x^{2}) + x (- 2 x)$ .

$p (x) = x (x^{4} - 4 x^{2} - 2 x) + x \cdot - 4$

Passaggio 1.7

Scomponi $x$ da $x (x^{4} - 4 x^{2} - 2 x) + x \cdot - 4$ .

$p (x) = x (x^{4} - 4 x^{2} - 2 x - 4)$

Passaggio 2

Scomponi $x^{4} - 4 x^{2} - 2 x - 4$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Passaggio 2.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

${(- 2)}^{4} - 4 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 4$

Passaggio 2.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$16 - 4 {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 - 4$

Passaggio 2.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$16 - 4 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 - 4$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 4$ per $4$ .

$16 - 16 - 2 \cdot - 2 - 4$

Passaggio 2.3.5

Sottrai $16$ da $16$ .

$0 - 2 \cdot - 2 - 4$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$0 + 4 - 4$

Passaggio 2.3.7

Somma $0$ e $4$ .

$4 - 4$

Passaggio 2.3.8

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 2.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{4} - 4 x^{2} - 2 x - 4}{x + 2}$

Passaggio 2.5

Dividi $x^{4} - 4 x^{2} - 2 x - 4$ per $x + 2$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4$

Passaggio 2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{4}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x^{3}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

Passaggio 2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{4} + 2 x^{3}$

				$x^{3}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$

Passaggio 2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{3}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$

Passaggio 2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{3}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Passaggio 2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{3} - 4 x^{2}$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

Passaggio 2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x$

$4$

$x^{4}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0$

Passaggio 2.5.11

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
								$0$	-	$2 x$	-	$4$

Passaggio 2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
								$0$	-	$2 x$	-	$4$

Passaggio 2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
								$0$	-	$2 x$	-	$4$
									-	$2 x$	-	$4$

Passaggio 2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x - 4$

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
								$0$	-	$2 x$	-	$4$
									+	$2 x$	+	$4$

Passaggio 2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$2$
$x$	+	$2$		$x^{4}$	+	$0 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$2 x$	-	$4$
			-	$x^{4}$	-	$2 x^{3}$
					-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$2 x^{3}$	+	$4 x^{2}$
								$0$	-	$2 x$	-	$4$
									+	$2 x$	+	$4$
												$0$

Passaggio 2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{3} - 2 x^{2} + 0 x - 2$

Passaggio 2.6

Scrivi $x^{4} - 4 x^{2} - 2 x - 4$ come insieme di fattori.

$p (x) = x ((x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 0 x - 2))$

Passaggio 3

Moltiplica $0$ per $x$ .

$p (x) = x ((x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 0 - 2))$

Passaggio 4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$p (x) = x ((x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} - 2))$

Passaggio 4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$p (x) = x (x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} - 2)$