Algebra Esempi

$f (x) = - \frac{1}{a} (3 x + 2) (x - 3)$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $- \frac{3 x^{2}}{a} + \frac{7 x}{a} + \frac{6}{a}$ è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 2

Si hanno asintoti verticali nelle aree di discontinuità infinita.

Nessun asintoto verticale

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 0$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Combina.

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Passaggio 6.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 x^{2} + 7 x}{a} + \frac{6}{a}$

Passaggio 6.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 x^{2} + 7 x + 6}{a}$

Passaggio 6.1.3

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 3 \cdot 6 = - 18$ e la cui somma è $b = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1.1

Scomponi $7$ da $7 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 7 (x) + 6}{a}$

Passaggio 6.1.3.1.2

Riscrivi $7$ come $- 2$ più $9$ .

$\frac{- 3 x^{2} + (- 2 + 9) x + 6}{a}$

Passaggio 6.1.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x + 9 x + 6}{a}$

Passaggio 6.1.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- 3 x^{2} - 2 x) + 9 x + 6}{a}$

Passaggio 6.1.3.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- 3 x - 2) - 3 (- 3 x - 2)}{a}$

Passaggio 6.1.3.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 3 x - 2$ .

$\frac{(- 3 x - 2) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.1.4

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$\frac{(- (3 x) - 2) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (3 x) - 1 (2)) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.7.1

Riscrivi $- (3 x + 2)$ come $- 1 (3 x + 2)$ .

$\frac{- 1 (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.1.7.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.1.8

Semplifica.

$\frac{- 3 x^{2} + 7 x + 6}{a}$

Passaggio 6.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 3 \cdot 6 = - 18$ e la cui somma è $b = 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Scomponi $7$ da $7 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 7 (x) + 6}{a}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Riscrivi $7$ come $- 2$ più $9$ .

$\frac{- 3 x^{2} + (- 2 + 9) x + 6}{a}$

Passaggio 6.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 x^{2} - 2 x + 9 x + 6}{a}$

Passaggio 6.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(- 3 x^{2} - 2 x) + 9 x + 6}{a}$

Passaggio 6.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{x (- 3 x - 2) - 3 (- 3 x - 2)}{a}$

Passaggio 6.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 3 x - 2$ .

$\frac{(- 3 x - 2) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 x$ .

$\frac{(- (3 x) - 2) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (3 x) - 1 (2)) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.2.4

Scomponi $- 1$ da $- (3 x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Riscrivi $- (3 x + 2)$ come $- 1 (3 x + 2)$ .

$\frac{- 1 (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.2.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{(3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.3

Espandi $- (3 x + 2) (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Nega $3 x + 2$ .

$\frac{- (3 x + 2) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(- (3 x) - 1 \cdot 2) (x - 3)}{a}$

Passaggio 6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 x (x - 3) - 1 \cdot (2 (x - 3))}{a}$

Passaggio 6.3.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 3 - 1 \cdot (2 (x - 3))}{a}$

Passaggio 6.3.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 3 - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Passaggio 6.3.6

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1 \cdot (3 x \cdot x) - 3 x \cdot - 3 - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Passaggio 6.3.7

Rimuovi le parentesi.

$\frac{- 1 \cdot (3 x \cdot x) - 1 \cdot (3 x) \cdot - 3 - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Passaggio 6.3.8

Sposta $x$ .

$\frac{- 1 \cdot (3 x \cdot x) - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Passaggio 6.3.9

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 3 x \cdot x - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Passaggio 6.3.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 3 (x \cdot x) - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Passaggio 6.3.11

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{- 3 (x \cdot x) - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Passaggio 6.3.12

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{- 3 x^{1 + 1} - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Passaggio 6.3.13

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 1 \cdot 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Passaggio 6.3.14

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot (- 3 x) - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Passaggio 6.3.15

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 9 x - 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Passaggio 6.3.16

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 9 x - 2 x - 1 \cdot 2 \cdot - 3}{a}$

Passaggio 6.3.17

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 9 x - 2 x - 2 \cdot - 3}{a}$

Passaggio 6.3.18

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 9 x - 2 x + 6}{a}$

Passaggio 6.3.19

Sottrai $2 x$ da $9 x$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 7 x + 6}{a}$

Passaggio 6.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$a$

$3 x^{2}$

$7 x$

$6$

Passaggio 6.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $a$ .

		-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
	$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$

Passaggio 6.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	-	$3 x^{2}$

Passaggio 6.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x^{2}$

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$

Passaggio 6.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$

Passaggio 6.9

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$

Passaggio 6.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $7 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $a$ .

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$

Passaggio 6.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$
			+	$7 x$

Passaggio 6.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $7 x$

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$
			-	$7 x$

Passaggio 6.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$
			-	$7 x$
				$0$

Passaggio 6.14

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

	-	$\frac{3 x^{2}}{a}$	+	$\frac{7 x}{a}$
$a$	-	$3 x^{2}$	+	$7 x$	+	$6$
	+	$3 x^{2}$
		$0$	+	$7 x$
			-	$7 x$
				$0$	+	$6$

Passaggio 6.15

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$- \frac{3 x^{2}}{a} + \frac{7 x}{a} + \frac{6}{a}$

Passaggio 6.16

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = - \frac{3 x^{2}}{a} + \frac{7 x}{a}$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Nessun asintoto verticale

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = - \frac{3 x^{2}}{a} + \frac{7 x}{a}$

Passaggio 8