Algebra Esempi

$\log_{7} (4 x^{2} - 1) - \log_{7} (3 x + 6) = 0$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{7} (\frac{4 x^{2} - 1}{3 x + 6}) = 0$

Passaggio 1.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $4 x^{2}$ come ${(2 x)}^{2}$ .

$\log_{7} (\frac{{(2 x)}^{2} - 1}{3 x + 6}) = 0$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\log_{7} (\frac{{(2 x)}^{2} - 1^{2}}{3 x + 6}) = 0$

Passaggio 1.2.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2 x$ e $b = 1$ .

$\log_{7} (\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3 x + 6}) = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $3$ da $3 x + 6$ .

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Passaggio 1.3.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\log_{7} (\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3 (x) + 6}) = 0$

Passaggio 1.3.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$\log_{7} (\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3 x + 3 \cdot 2}) = 0$

Passaggio 1.3.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\log_{7} (\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3 (x + 2)}) = 0$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{7} (\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3 (x + 2)}) = 0$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$7^{0} = \frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{3 (x + 2)}$

Passaggio 3

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$(2 x + 1) (2 x - 1) = 7^{0} (3 (x + 2))$

Passaggio 4

Semplifica $7^{0} (3 (x + 2))$ .

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Passaggio 4.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 4.1.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) = 1 (3 (x + 2))$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $3 (x + 2)$ per $1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) = 3 (x + 2)$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$(2 x + 1) (2 x - 1) = 3 x + 3 \cdot 2$

Passaggio 4.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) = 3 x + 6$

Passaggio 5

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 5.1

Sottrai $3 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(2 x + 1) (2 x - 1) - 3 x = 6$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

Espandi $(2 x + 1) (2 x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1) - 3 x = 6$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1) - 3 x = 6$

Passaggio 5.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Passaggio 5.2.2

Combina i termini opposti in $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Passaggio 5.2.2.1

Riordina i fattori nei termini di $2 x \cdot - 1$ e $1 (2 x)$ .

$2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Passaggio 5.2.2.2

Somma $- 1 \cdot 2 x$ e $1 \cdot 2 x$ .

$2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Passaggio 5.2.2.3

Somma $2 x (2 x)$ e $0$ .

$2 x (2 x) + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Passaggio 5.2.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.2.3.2.1

Sposta $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Passaggio 5.2.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Passaggio 5.2.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{2} + 1 \cdot - 1 - 3 x = 6$

Passaggio 5.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 x^{2} - 1 - 3 x = 6$

Passaggio 6

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 6.1

Riordina i termini.

$4 x^{2} - 3 x - 1 = 6$

Passaggio 6.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ e la cui somma è $b = - 3$ .

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 1 = 6$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi $- 3$ come $1$ più $- 4$ .

$4 x^{2} + (1 - 4) x - 1 = 6$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 1 x - 4 x - 1 = 6$

Passaggio 6.2.4

Moltiplica $x$ per $1$ .

$4 x^{2} + x - 4 x - 1 = 6$

Passaggio 6.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 6.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 x^{2} + x) - 4 x - 1 = 6$

Passaggio 6.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (4 x + 1) - (4 x + 1) = 6$

Passaggio 6.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $4 x + 1$ .

$(4 x + 1) (x - 1) = 6$

Passaggio 7

Semplifica $(4 x + 1) (x - 1)$ .

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Passaggio 7.1

Espandi $(4 x + 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 x (x - 1) + 1 (x - 1) = 6$

Passaggio 7.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 6$

Passaggio 7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x \cdot x + 4 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 6$

Passaggio 7.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 6$

Passaggio 7.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$4 x^{2} + 4 x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 6$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$4 x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 6$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$4 x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot - 1 = 6$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 x^{2} - 4 x + x - 1 = 6$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 4 x$ e $x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 1 = 6$

Passaggio 8

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} - 3 x - 1 - 6 = 0$

Passaggio 9

Sottrai $6$ da $- 1$ .

$4 x^{2} - 3 x - 7 = 0$

Passaggio 10

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 10.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 7 = - 28$ e la cui somma è $b = - 3$ .

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Passaggio 10.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 x$ .

$4 x^{2} - 3 x - 7 = 0$

Passaggio 10.1.2

Riscrivi $- 3$ come $4$ più $- 7$ .

$4 x^{2} + (4 - 7) x - 7 = 0$

Passaggio 10.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 x^{2} + 4 x - 7 x - 7 = 0$

Passaggio 10.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(4 x^{2} + 4 x) - 7 x - 7 = 0$

Passaggio 10.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$4 x (x + 1) - 7 (x + 1) = 0$

Passaggio 10.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 1$ .

$(x + 1) (4 x - 7) = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$4 x - 7 = 0$

Passaggio 12

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 12.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 13

Imposta $4 x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $4 x - 7$ uguale a $0$ .

$4 x - 7 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi $4 x - 7 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 13.2.1

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 7$

Passaggio 13.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 7$ e semplifica.

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Passaggio 13.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 7$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{7}{4}$

Passaggio 13.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 13.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 13.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{7}{4}$

Passaggio 13.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{7}{4}$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (4 x - 7) = 0$ vera.

$x = - 1, \frac{7}{4}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 1, \frac{7}{4}$

Forma decimale:

$x = - 1, 1.75$

Forma numero misto:

$x = - 1, 1 \frac{3}{4}$