Algebra Esempi

$\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42} \geq 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x^{2} - 3 x - 18 = 0$

$13 x - x^{2} - 42 = 0$

Passaggio 2

Scomponi $x^{2} - 3 x - 18$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 18$ e la cui somma è $- 3$ .

$- 6, 3$

Passaggio 2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 6) (x + 3) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 4

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 6) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 6, - 3$

Passaggio 7

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$13 u - u^{2} - 42 = 0$

Passaggio 7.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Riordina i termini.

$- u^{2} + 13 u - 42 = 0$

Passaggio 7.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 42 = 42$ e la cui somma è $b = 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Scomponi $13$ da $13 u$ .

$- u^{2} + 13 (u) - 42 = 0$

Passaggio 7.2.2.2

Riscrivi $13$ come $6$ più $7$ .

$- u^{2} + (6 + 7) u - 42 = 0$

Passaggio 7.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- u^{2} + 6 u + 7 u - 42 = 0$

Passaggio 7.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(- u^{2} + 6 u) + 7 u - 42 = 0$

Passaggio 7.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (- u + 6) - 7 (- u + 6) = 0$

Passaggio 7.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u - 7) = 0$

Passaggio 7.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(- x + 6) (x - 7) = 0$

Passaggio 8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Passaggio 9

Imposta $- x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Imposta $- x + 6$ uguale a $0$ .

$- x + 6 = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi $- x + 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 6$

Passaggio 9.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 6$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 9.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 9.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 9.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.3.1

Dividi $- 6$ per $- 1$ .

$x = 6$

Passaggio 10

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 10.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(- x + 6) (x - 7) = 0$ vera.

$x = 6, 7$

Passaggio 12

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 6, - 3$

$x = 6, 7$

Passaggio 13

Consolida le soluzioni.

$x = 6, - 3, 6, 7$

Passaggio 14

Trova il dominio di $\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Imposta il denominatore in $\frac{x^{2} - 3 x - 18}{13 x - x^{2} - 42}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$13 x - x^{2} - 42 = 0$

Passaggio 14.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Sia $u = x$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $x$ con $u$ .

$13 u - u^{2} - 42 = 0$

Passaggio 14.2.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.1

Riordina i termini.

$- u^{2} + 13 u - 42 = 0$

Passaggio 14.2.1.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 42 = 42$ e la cui somma è $b = 13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.2.1

Scomponi $13$ da $13 u$ .

$- u^{2} + 13 (u) - 42 = 0$

Passaggio 14.2.1.2.2.2

Riscrivi $13$ come $6$ più $7$ .

$- u^{2} + (6 + 7) u - 42 = 0$

Passaggio 14.2.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$- u^{2} + 6 u + 7 u - 42 = 0$

Passaggio 14.2.1.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(- u^{2} + 6 u) + 7 u - 42 = 0$

Passaggio 14.2.1.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (- u + 6) - 7 (- u + 6) = 0$

Passaggio 14.2.1.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u + 6$ .

$(- u + 6) (u - 7) = 0$

Passaggio 14.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$(- x + 6) (x - 7) = 0$

Passaggio 14.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- x + 6 = 0$

$x - 7 = 0$

Passaggio 14.2.3

Imposta $- x + 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.1

Imposta $- x + 6$ uguale a $0$ .

$- x + 6 = 0$

Passaggio 14.2.3.2

Risolvi $- x + 6 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.2.1

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 6$

Passaggio 14.2.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 6$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 6$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 14.2.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 14.2.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 6}{- 1}$

Passaggio 14.2.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.3.2.2.3.1

Dividi $- 6$ per $- 1$ .

$x = 6$

Passaggio 14.2.4

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.4.1

Imposta $x - 7$ uguale a $0$ .

$x - 7 = 0$

Passaggio 14.2.4.2

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 14.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(- x + 6) (x - 7) = 0$ vera.

$x = 6, 7$

Passaggio 14.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 6) \cup (6, 7) \cup (7, \infty)$

Passaggio 15

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 6$

$6 < x < 7$

$x > 7$

Passaggio 16

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 16.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 18}{13 (- 6) - {(- 6)}^{2} - 42} \geq 0$

Passaggio 16.1.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{230769}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 16.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 16.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 18}{13 (0) - {(0)}^{2} - 42} \geq 0$

Passaggio 16.2.3

Il lato sinistro di $0.\overline{428571}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 16.3

Testa un valore sull'intervallo $6 < x < 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $6 < x < 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6.5$

Passaggio 16.3.2

Sostituisci $x$ con $6.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(6.5)}^{2} - 3 \cdot 6.5 - 18}{13 (6.5) - {(6.5)}^{2} - 42} \geq 0$

Passaggio 16.3.3

Il lato sinistro di $19$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 16.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 16.4.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{{(10)}^{2} - 3 \cdot 10 - 18}{13 (10) - {(10)}^{2} - 42} \geq 0$

Passaggio 16.4.3

Il lato sinistro di $- 4.\overline{3}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 16.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 6$ Vero

$6 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 6$ Vero

$6 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

Passaggio 17

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 3 \leq x < 6$ o $6 < x < 7$

Passaggio 18

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$- 3 \leq x < 6 or 6 < x < 7$

Notazione degli intervalli:

$[- 3, 6) \cup (6, 7)$

Passaggio 19