Algebra Esempi

$f (x) = 7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = 7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2$ come un'equazione.

$y = 7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = 7 \log (\frac{1}{4} y - 3) + 2$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $7 \log (\frac{1}{4} y - 3) + 2 = x$ .

$7 \log (\frac{1}{4} y - 3) + 2 = x$

Passaggio 3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$7 \log (\frac{1}{4} y - 3) = x - 2$

Passaggio 3.3

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 \log (\frac{1}{4} y - 3) = x - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 \log (\frac{1}{4} y - 3) = x - 2$ .

$\frac{7 \log (\frac{1}{4} y - 3)}{7} = \frac{x}{7} + \frac{- 2}{7}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 \log (\frac{1}{4} y - 3)}{7} = \frac{x}{7} + \frac{- 2}{7}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $\log (\frac{1}{4} y - 3)$ per $1$ .

$\log (\frac{1}{4} y - 3) = \frac{x}{7} + \frac{- 2}{7}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\log (\frac{1}{4} y - 3) = \frac{x}{7} - \frac{2}{7}$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\log (\frac{1}{4} y - 3) = \frac{x}{7} - \frac{2}{7}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} = \frac{1}{4} y - 3$

Passaggio 3.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{4} y - 3 = 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}$ .

$\frac{1}{4} y - 3 = 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}$

Passaggio 3.5.2

$\frac{1}{4}$ e $y$ .

$\frac{y}{4} - 3 = 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}$

Passaggio 3.5.3

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y}{4} = 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 \frac{y}{4} = 4 (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3)$

Passaggio 3.5.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{y}{4} = 4 (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3)$

Passaggio 3.5.5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = 4 (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3)$

Passaggio 3.5.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.1

Semplifica $4 (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = 4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 4 \cdot 3$

Passaggio 3.5.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = 4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = 4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = 4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12$ è l'inverso di $f (x) = 7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2)$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2}{7} - \frac{2}{7}} + 12$

Passaggio 5.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2 - 2}{7}} + 12$

Passaggio 5.2.3.2

Combina i termini opposti in $7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2 - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.2.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 0}{7}} + 12$

Passaggio 5.2.3.2.2

Somma $7 \log (\frac{1}{4} x - 3)$ e $0$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{1}{4} x - 3)}{7}} + 12$

Passaggio 5.2.3.3

$\frac{1}{4}$ e $x$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{x}{4} - 3)}{7}} + 12$

Passaggio 5.2.3.4

Semplifica $7 \log (\frac{x}{4} - 3)$ spostando $7$ all'interno del logaritmo.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{\log ({(\frac{x}{4} - 3)}^{7})}{7}} + 12$

Passaggio 5.2.3.5

Espandi $\log ({(\frac{x}{4} - 3)}^{7})$ spostando $7$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{x}{4} - 3)}{7}} + 12$

Passaggio 5.2.3.6

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.6.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\frac{7 \log (\frac{x}{4} - 3)}{7}} + 12$

Passaggio 5.2.3.6.2

Dividi $\log (\frac{x}{4} - 3)$ per $1$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot 10^{\log (\frac{x}{4} - 3)} + 12$

Passaggio 5.2.3.7

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 \cdot (\frac{x}{4} - 3) + 12$

Passaggio 5.2.3.8

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot - 3 + 12$

Passaggio 5.2.3.9

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.9.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 \cdot - 3 + 12$

Passaggio 5.2.3.9.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = x + 4 \cdot - 3 + 12$

Passaggio 5.2.3.10

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = x - 12 + 12$

Passaggio 5.2.4

Combina i termini opposti in $x - 12 + 12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Somma $- 12$ e $12$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = x + 0$

Passaggio 5.2.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12)$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) - 3) + 2$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}) + \frac{1}{4} \cdot 12 - 3) + 2$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (\frac{1}{4} \cdot (4 (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}})) + \frac{1}{4} \cdot 12 - 3) + 2$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}) + \frac{1}{4} \cdot 12 - 3) + 2$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + \frac{1}{4} \cdot 12 - 3) + 2$

Passaggio 5.3.3.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.3.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + \frac{1}{4} \cdot (4 (3)) - 3) + 2$

Passaggio 5.3.3.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + \frac{1}{4} \cdot (4 \cdot 3) - 3) + 2$

Passaggio 5.3.3.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3 - 3) + 2$

Passaggio 5.3.3.2

Combina i termini opposti in $10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 3 - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Sottrai $3$ da $3$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 0) + 2$

Passaggio 5.3.3.2.2

Somma $10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}$ e $0$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 \log (10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}}) + 2$

Passaggio 5.3.3.3

Usa le regole del logaritmo per togliere $\frac{x}{7} - \frac{2}{7}$ dall'esponente.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 ((\frac{x}{7} - \frac{2}{7}) \log (10)) + 2$

Passaggio 5.3.3.4

Il logaritmo in base $10$ di $10$ è $1$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 ((\frac{x}{7} - \frac{2}{7}) \cdot 1) + 2$

Passaggio 5.3.3.5

Moltiplica $\frac{x}{7} - \frac{2}{7}$ per $1$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 (\frac{x}{7} - \frac{2}{7}) + 2$

Passaggio 5.3.3.6

Applica la proprietà distributiva.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 (\frac{x}{7}) + 7 (- \frac{2}{7}) + 2$

Passaggio 5.3.3.7

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = 7 (\frac{x}{7}) + 7 (- \frac{2}{7}) + 2$

Passaggio 5.3.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = x + 7 (- \frac{2}{7}) + 2$

Passaggio 5.3.3.8

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.8.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{7}$ nel numeratore.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = x + 7 (\frac{- 2}{7}) + 2$

Passaggio 5.3.3.8.2

Elimina il fattore comune.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = x + 7 (\frac{- 2}{7}) + 2$

Passaggio 5.3.3.8.3

Riscrivi l'espressione.

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = x - 2 + 2$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x - 2 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = 4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12$ è l'inverso di $f (x) = 7 \log (\frac{1}{4} x - 3) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = 4 \cdot 10^{\frac{x}{7} - \frac{2}{7}} + 12$