Algebra Esempi

$\log (x + y) = \frac{1}{2} (\log (x) + \log (y)) + \log (2)$

Passaggio 1

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x + y) = \frac{1}{2} \log (x) + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Passaggio 1.1.2

$\frac{1}{2}$ e $\log (x)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{1}{2} \log (y) + \log (2)$

Passaggio 1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $\log (y)$ .

$\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$

Passaggio 2

Moltiplica per $2$ ciascun termine in $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $\log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} + \frac{\log (y)}{2} + \log (2)$ per $2$ .

$\log (x + y) \cdot 2 = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sposta $2$ alla sinistra di $\log (x + y)$ .

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \log (x + y) = \frac{\log (x)}{2} \cdot 2 + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \frac{\log (y)}{2} \cdot 2 + \log (2) \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + \log (2) \cdot 2$

Passaggio 2.3.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\log (2)$ .

$2 \log (x + y) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $2 \log (x + y)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$

Passaggio 4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica $\log (x) + \log (y) + 2 \log (2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + 2 \log (2)$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica $2 \log (2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (2^{2})$

Passaggio 4.1.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y) + \log (4)$

Passaggio 4.1.3

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (x y \cdot 4)$

Passaggio 4.1.4

Sposta $4$ alla sinistra di $x y$ .

$\log ({(x + y)}^{2}) = \log (4 x y)$

Passaggio 5

Affinché l'equazione sia uguale, l'argomento dei logaritmi su entrambi i lati dell'equazione deve essere uguale.

${(x + y)}^{2} = 4 x y$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sottrai $4 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

${(x + y)}^{2} - 4 x y = 0$

Passaggio 6.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Riscrivi ${(x + y)}^{2}$ come $(x + y) (x + y)$ .

$(x + y) (x + y) - 4 x y = 0$

Passaggio 6.1.2.2

Espandi $(x + y) (x + y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.1.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x + y) + y (x + y) - 4 x y = 0$

Passaggio 6.1.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x y + y (x + y) - 4 x y = 0$

Passaggio 6.1.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Passaggio 6.1.2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x y + y x + y \cdot y - 4 x y = 0$

Passaggio 6.1.2.3.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$x^{2} + x y + y x + y^{2} - 4 x y = 0$

Passaggio 6.1.2.3.2

Somma $x y$ e $y x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.3.2.1

Riordina $y$ e $x$ .

$x^{2} + x y + x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Passaggio 6.1.2.3.2.2

Somma $x y$ e $x y$ .

$x^{2} + 2 x y + y^{2} - 4 x y = 0$

Passaggio 6.1.3

Sottrai $4 x y$ da $2 x y$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 x y = 0$

Passaggio 6.2

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2 y$ e $c = y^{2}$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot y^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

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Passaggio 6.4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.4.1.1

Riscrivi $4 \cdot 1 \cdot y^{2}$ come ${(2 \cdot 1 y)}^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{{(- 2 y)}^{2} - {(2 \cdot (1 y))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = - 2 y$ e $b = 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(- 2 y + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.3.1

Scomponi $2 y$ da $- 2 y + 2 \cdot 1 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.3.1.1

Scomponi $2 y$ da $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 \cdot (1 y)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3.1.2

Scomponi $2 y$ da $2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y (- 1) + 2 y (1)) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3.1.3

Scomponi $2 y$ da $2 y (- 1) + 2 y (1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y (- 1 + 1) (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3.2

Somma $- 1$ e $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{2 y \cdot (0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y))))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3.3

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 6.4.1.3.3.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3.3.2

Moltiplica $0$ per $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (- 2 y - (2 \cdot (1 y)))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3.4

Scomponi $y$ da $- 2 y - 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.3.4.1

Scomponi $y$ da $- 2 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 - 1 \cdot 2 \cdot (1 y))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3.4.2

Scomponi $y$ da $- 1 \cdot 2 \cdot 1 y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3.4.3

Scomponi $y$ da $y \cdot - 2 + y (- 1 \cdot 2 \cdot 1)$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 1 \cdot 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3.5

Moltiplica $- 1 \cdot 2 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2 \cdot 1))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3.5.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 (y (- 2 - 2))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3.6

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 y \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3.7

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.3.7.1

Moltiplica $0$ per $y$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.3.7.2

Moltiplica $0$ per $- 4$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{0^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.5

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{2 y \pm 0}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.1.6

$2 y$ più o meno $0$ fa $2 y$ .

$x = \frac{2 y}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 y}{2}$

Passaggio 6.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.3.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 y}{2}$

Passaggio 6.4.3.2

Dividi $y$ per $1$ .

$x = y$

Passaggio 6.5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = y$ Radici doppie