Algebra Esempi

$- \frac{1}{2} | 4 x - 5 | + 3 < 0$

Passaggio 1

Scrivi $- \frac{1}{2} \cdot | 4 x - 5 | + 3 < 0$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$4 x - 5 \geq 0$

Passaggio 1.2

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Aggiungi $5$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$4 x \geq 5$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x \geq 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x \geq 5$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{5}{4}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \geq \frac{5}{4}$

Passaggio 1.3

Nella parte in cui $4 x - 5$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$- \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0$

Passaggio 1.4

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$4 x - 5 < 0$

Passaggio 1.5

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Aggiungi $5$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$4 x < 5$

Passaggio 1.5.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x < 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x < 5$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Passaggio 1.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Passaggio 1.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{5}{4}$

Passaggio 1.6

Nella parte in cui $4 x - 5$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0$

Passaggio 1.7

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.8

Semplifica $- \frac{1}{2} \cdot (4 x - 5) + 3 < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Applica la proprietà distributiva.

${\begin{cases} - \frac{1}{2} (4 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.8.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (4 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.8.1.2.2

Scomponi $2$ da $4 x$ .

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (2 (2 x)) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.8.1.2.3

Elimina il fattore comune.

${\begin{cases} \frac{- 1}{2} (2 (2 x)) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.8.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

${\begin{cases} - 1 (2 x) - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.8.1.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x - \frac{1}{2} \cdot - 5 + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.8.1.4

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.4.1

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + 5 (\frac{1}{2}) + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.8.1.4.2

$5$ e $\frac{1}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + 3 < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.8.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.8.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.8.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5 + 3 \cdot 2}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.8.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{5 + 6}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.8.5.2

Somma $5$ e $6$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9

Semplifica $- \frac{1}{2} \cdot (- (4 x - 5)) + 3 < 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.1

Applica la proprietà distributiva.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- (4 x) - - 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- 4 x - - 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} \cdot (- 4 x + 5) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.1.4

Applica la proprietà distributiva.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - \frac{1}{2} (- 4 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.1.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (- 4 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.1.5.2

Scomponi $2$ da $- 4 x$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (2 (- 2 x)) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.1.5.3

Elimina il fattore comune.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ \frac{- 1}{2} (2 (- 2 x)) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.1.5.4

Riscrivi l'espressione.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ - 1 (- 2 x) - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.1.6

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{1}{2} \cdot 5 + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.1.7

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.7.1

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - 5 (\frac{1}{2}) + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.1.7.2

$- 5$ e $\frac{1}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5}{2} + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + 3 < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x - \frac{5}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5 + 3 \cdot 2}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{- 5 + 6}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 1.9.5.2

Somma $- 5$ e $6$ .

${\begin{cases} - 2 x + \frac{11}{2} < 0 & x \geq \frac{5}{4} \\ 2 x + \frac{1}{2} < 0 & x < \frac{5}{4} \end{cases}$

Passaggio 2

Risolvi $- 2 x + \frac{11}{2} < 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sottrai $\frac{11}{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- 2 x < - \frac{11}{2}$

Passaggio 2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x < - \frac{11}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x < - \frac{11}{2}$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Passaggio 2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x > \frac{- \frac{11}{2}}{- 2}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x > - \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x > - \frac{11}{2} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $- \frac{11}{2} (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x > 1 (\frac{11}{2}) \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.3.3.2

Moltiplica $\frac{11}{2}$ per $1$ .

$x > \frac{11}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.3.3.3

Moltiplica $\frac{11}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{11}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.2.3.3.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x > \frac{11}{4}$

Passaggio 3

Risolvi $2 x + \frac{1}{2} < 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$2 x < - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x < - \frac{1}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x < - \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{- \frac{1}{2}}{2}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x < - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 3.2.3.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x < - \frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x < - \frac{1}{4}$

Passaggio 4

Trova l'unione delle soluzioni.

$x < - \frac{1}{4}$ o $x > \frac{11}{4}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - \frac{1}{4} or x > \frac{11}{4}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - \frac{1}{4}) \cup (\frac{11}{4}, \infty)$

Passaggio 6