Algebra Esempi

$\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

$\frac{1}{2}$ e $\log_{12} (4 n^{2})$ .

$\log_{12} (n + 14) + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Passaggio 2

Per scrivere $\log_{12} (n + 14)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\log_{12} (n + 14) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\log_{12} (n + 14)$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Passaggio 3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2 + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Passaggio 4

Sposta $2$ alla sinistra di $\log_{12} (n + 14)$ .

$\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Passaggio 5

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1

Semplifica $\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1.1

Semplifica $2 \log_{12} (n + 14)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2}) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

Passaggio 5.1.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2} (4 n^{2}))}{2} = 2$

Passaggio 5.1.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2} = 2$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2}$ come $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ .

$\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2}) = 2$

Passaggio 5.1.3

Semplifica $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ spostando $\frac{1}{2}$ all'interno del logaritmo.

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.4

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Applica la regola del prodotto a $4 {(n + 14)}^{2} n^{2}$ .

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.4.2

Applica la regola del prodotto a $4 {(n + 14)}^{2}$ .

$\log_{12} (4^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\log_{12} ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{12} (2^{1} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.7

Calcola l'esponente.

$\log_{12} (2 {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.8

Moltiplica gli esponenti in ${({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.8.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.8.2.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{1} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.9

Semplifica.

$\log_{12} (2 (n + 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.10

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{12} ((2 n + 2 \cdot 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.11.1

Moltiplica $2$ per $14$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

Passaggio 5.1.11.2

Moltiplica gli esponenti in ${(n^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.11.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Passaggio 5.1.11.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.11.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

Passaggio 5.1.11.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{1}) = 2$

Passaggio 5.1.12

Semplifica.

$\log_{12} ((2 n + 28) n) = 2$

Passaggio 5.1.13

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{12} (2 n \cdot n + 28 n) = 2$

Passaggio 5.1.14

Moltiplica $n$ per $n$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.14.1

Sposta $n$ .

$\log_{12} (2 (n \cdot n) + 28 n) = 2$

Passaggio 5.1.14.2

Moltiplica $n$ per $n$ .

$\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$

Passaggio 6

Riscrivi $\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$12^{2} = 2 n^{2} + 28 n$

Passaggio 7

Risolvi per $n$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$ .

$2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$

Passaggio 7.2

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$2 n^{2} + 28 n = 144$

Passaggio 7.3

Sottrai $144$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 n^{2} + 28 n - 144 = 0$

Passaggio 7.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 7.4.1

Scomponi $2$ da $2 n^{2} + 28 n - 144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 n^{2}$ .

$2 (n^{2}) + 28 n - 144 = 0$

Passaggio 7.4.1.2

Scomponi $2$ da $28 n$ .

$2 (n^{2}) + 2 (14 n) - 144 = 0$

Passaggio 7.4.1.3

Scomponi $2$ da $- 144$ .

$2 n^{2} + 2 (14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Passaggio 7.4.1.4

Scomponi $2$ da $2 n^{2} + 2 (14 n)$ .

$2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

Passaggio 7.4.1.5

Scomponi $2$ da $2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72$ .

$2 (n^{2} + 14 n - 72) = 0$

Passaggio 7.4.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Scomponi $n^{2} + 14 n - 72$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.4.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 72$ e la cui somma è $14$ .

$- 4, 18$

Passaggio 7.4.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$2 ((n - 4) (n + 18)) = 0$

Passaggio 7.4.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 (n - 4) (n + 18) = 0$

Passaggio 7.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$n - 4 = 0$

$n + 18 = 0$

Passaggio 7.6

Imposta $n - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $n$ .

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Passaggio 7.6.1

Imposta $n - 4$ uguale a $0$ .

$n - 4 = 0$

Passaggio 7.6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$n = 4$

Passaggio 7.7

Imposta $n + 18$ uguale a $0$ e risolvi per $n$ .

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Passaggio 7.7.1

Imposta $n + 18$ uguale a $0$ .

$n + 18 = 0$

Passaggio 7.7.2

Sottrai $18$ da entrambi i lati dell'equazione.

$n = - 18$

Passaggio 7.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 (n - 4) (n + 18) = 0$ vera.

$n = 4, - 18$

Passaggio 8

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$ vera.

$n = 4$