Algebra Esempi

$f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{1}{2} y^{3} + \frac{1}{2} = x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{2}$ e $y^{3}$ .

$\frac{y^{3}}{2} + \frac{1}{2} = x$

Passaggio 3.3

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{3}}{2} = x - \frac{1}{2}$

Passaggio 3.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{y^{3}}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Passaggio 3.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{3}}{2} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Passaggio 3.5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 2 (x - \frac{1}{2})$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Semplifica $2 (x - \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 2 x + 2 (- \frac{1}{2})$

Passaggio 3.5.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$y^{3} = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 3.5.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y^{3} = 2 x + 2 (\frac{- 1}{2})$

Passaggio 3.5.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 2 x - 1$

Passaggio 3.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{2 x - 1}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.2.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2} + \frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1}$

Passaggio 5.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1}$

Passaggio 5.2.7

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.7.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Passaggio 5.2.7.2

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Passaggio 5.2.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\sqrt[3]{2 x - 1})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(\sqrt[3]{2 x - 1})}^{3} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.3.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2 x - 1}}^{3}$ come $2 x - 1$ .

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Passaggio 5.3.3.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2 x - 1}$ come ${(2 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {({(2 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.1.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot {(2 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.1.5

Semplifica.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x - 1) + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.3.3.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + \frac{1}{2} \cdot - 1 + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.4

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + \frac{- 1}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 5.3.4

Combina i termini opposti in $x - \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 5.3.4.1

Somma $- \frac{1}{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x + 0$

Passaggio 5.3.4.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\sqrt[3]{2 x - 1}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x - 1}$