Algebra Esempi

$x y^{2} - x + 3 y^{2} + 1 = 0$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y^{2} + 3 y^{2} + 1 = x$

Passaggio 1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y^{2} + 3 y^{2} = x - 1$

Passaggio 2

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2} + 3 y^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$y^{2} x + 3 y^{2} = x - 1$

Passaggio 2.2

Scomponi $y^{2}$ da $3 y^{2}$ .

$y^{2} x + y^{2} \cdot 3 = x - 1$

Passaggio 2.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} x + y^{2} \cdot 3$ .

$y^{2} (x + 3) = x - 1$

Passaggio 3

Dividi per $x + 3$ ciascun termine in $y^{2} (x + 3) = x - 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.1

Dividi per $x + 3$ ciascun termine in $y^{2} (x + 3) = x - 1$ .

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (x + 3)}{x + 3} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{x + 3} + \frac{- 1}{x + 3}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 3}$

Passaggio 4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$

Passaggio 5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{x - 1}{x + 3}}$ come $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ per $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$

Passaggio 5.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 3}}$ per $\frac{\sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{\sqrt{x + 3} \sqrt{x + 3}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $\sqrt{x + 3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} \sqrt{x + 3}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $\sqrt{x + 3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1} {\sqrt{x + 3}}^{1}}$

Passaggio 5.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{\sqrt{x + 3}}^{2}}$

Passaggio 5.3.6

Riscrivi ${\sqrt{x + 3}}^{2}$ come $x + 3$ .

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Passaggio 5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 3}$ come ${(x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{({(x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{{(x + 3)}^{1}}$

Passaggio 5.3.6.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{x - 1} \sqrt{x + 3}}{x + 3}$

Passaggio 5.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Passaggio 6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Passaggio 6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Passaggio 6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

$y = - \frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$

Passaggio 7

Imposta il radicando in $\sqrt{(x - 1) (x + 3)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(x - 1) (x + 3) \geq 0$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 8.2

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.2.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 8.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 8.3

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.3.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 8.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 8.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 1) (x + 3) \geq 0$ vera.

$x = 1, - 3$

Passaggio 8.5

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 8.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 8.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$((- 6) - 1) ((- 6) + 3) \geq 0$

Passaggio 8.6.1.3

Il lato sinistro di $21$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 8.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 8.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$((0) - 1) ((0) + 3) \geq 0$

Passaggio 8.6.2.3

Il lato sinistro di $- 3$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 8.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 8.6.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$((4) - 1) ((4) + 3) \geq 0$

Passaggio 8.6.3.3

Il lato sinistro di $21$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 8.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 8.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 3$ o $x \geq 1$

Passaggio 9

Imposta il denominatore in $\frac{\sqrt{(x - 1) (x + 3)}}{x + 3}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 3 = 0$

Passaggio 10

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 11

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 3) \cup [1, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x < - 3, x \geq 1}$

Passaggio 12

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \neq 1, - 1}$

Passaggio 13

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $(- \infty, - 3) \cup [1, \infty), {x | x < - 3, x \geq 1}$

Intervallo: $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty), {y | y \neq 1, - 1}$

Passaggio 14