Algebra Esempi

$\sqrt[3]{5 x^{k + 1}} \cdot \sqrt[3]{25 x^{k}} = 5 x^{7}$

Passaggio 1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}} \cdot \sqrt[3]{25 x^{k}}) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 2

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}} \cdot \sqrt[3]{25 x^{k}})$ come $\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}}) + \ln (\sqrt[3]{25 x^{k}})$ .

$\ln (\sqrt[3]{5 x^{k + 1}}) + \ln (\sqrt[3]{25 x^{k}}) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 2.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{5 x^{k + 1}}$ come ${(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln ({(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}}) + \ln (\sqrt[3]{25 x^{k}}) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 2.3

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{25 x^{k}}$ come ${(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln ({(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}}) + \ln ({(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}}) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 2.4

Espandi $\ln ({(5 x^{k + 1})}^{\frac{1}{3}})$ spostando $\frac{1}{3}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{3} \ln (5 x^{k + 1}) + \ln ({(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}}) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 2.5

Espandi $\ln ({(25 x^{k})}^{\frac{1}{3}})$ spostando $\frac{1}{3}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{3} \ln (5 x^{k + 1}) + \frac{1}{3} \ln (25 x^{k}) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 2.6

Riscrivi $\ln (5 x^{k + 1})$ come $\ln (5) + \ln (x^{k + 1})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (5) + \ln (x^{k + 1})) + \frac{1}{3} \ln (25 x^{k}) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 2.7

Espandi $\ln (x^{k + 1})$ spostando $k + 1$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} \ln (25 x^{k}) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 2.8

Riscrivi $\ln (25 x^{k})$ come $\ln (25) + \ln (x^{k})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + \ln (x^{k})) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 2.9

Espandi $\ln (x^{k})$ spostando $k$ fuori dal logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.1

Semplifica $\frac{1}{3} (\ln (5) + (k + 1) \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3} (\ln (5) + k \ln (x) + 1 \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.1.1.2

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$\frac{1}{3} (\ln (5) + k \ln (x) + \ln (x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{1}{3} (k \ln (x) + \ln (5 x)) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{3} (k \ln (x)) + \frac{1}{3} \ln (5 x) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.1.4

Moltiplica $\frac{1}{3} (k \ln (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.4.1

$k$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{k}{3} \ln (x) + \frac{1}{3} \ln (5 x) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.1.4.2

$\frac{k}{3}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{1}{3} \ln (5 x) + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.1.5

$\frac{1}{3}$ e $\ln (5 x)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{1}{3} (\ln (25) + k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{1}{3} \ln (25) + \frac{1}{3} (k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.1.7

$\frac{1}{3}$ e $\ln (25)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{\ln (25)}{3} + \frac{1}{3} (k \ln (x)) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.1.8

Moltiplica $\frac{1}{3} (k \ln (x))$ .

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Passaggio 3.1.1.8.1

$k$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{\ln (25)}{3} + \frac{k}{3} \ln (x) = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.1.8.2

$\frac{k}{3}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (5 x)}{3} + \frac{\ln (25)}{3} + \frac{k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{k \ln (x) + \ln (5 x) + \ln (25) + k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.3

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{k \ln (x) + \ln (5 x \cdot 25) + k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $25$ per $5$ .

$\frac{k \ln (x) + \ln (125 x) + k \ln (x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.5

Somma $k \ln (x)$ e $k \ln (x)$ .

$\frac{2 k \ln (x) + \ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 3.1.6

Dividi la frazione $\frac{2 k \ln (x) + \ln (125 x)}{3}$ in due frazioni.

$\frac{2 k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$

Passaggio 4

Moltiplica per $3$ ciascun termine in $\frac{2 k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2 k \ln (x)}{3} + \frac{\ln (125 x)}{3} = \ln (5 x^{7})$ per $3$ .

$\frac{2 k \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 k \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Passaggio 4.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 k \ln (x) + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Passaggio 4.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 k \ln (x) + \frac{\ln (125 x)}{3} \cdot 3 = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Passaggio 4.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 k \ln (x) + \ln (125 x) = \ln (5 x^{7}) \cdot 3$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $\ln (5 x^{7})$ .

$2 k \ln (x) + \ln (125 x) = 3 \ln (5 x^{7})$

Passaggio 5

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 k \ln (x) + \ln (125 x) - 3 \ln (5 x^{7}) = 0$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini non contenenti $k$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 6.1

Sottrai $\ln (125 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 k \ln (x) - 3 \ln (5 x^{7}) = - \ln (125 x)$

Passaggio 6.2

Somma $3 \ln (5 x^{7})$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 k \ln (x) = - \ln (125 x) + 3 \ln (5 x^{7})$

Passaggio 7

Dividi per $2 \ln (x)$ ciascun termine in $2 k \ln (x) = - \ln (125 x) + 3 \ln (5 x^{7})$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $2 \ln (x)$ ciascun termine in $2 k \ln (x) = - \ln (125 x) + 3 \ln (5 x^{7})$ .

$\frac{2 k \ln (x)}{2 \ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 k \ln (x)}{2 \ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Passaggio 7.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{k \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune di $\ln (x)$ .

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Passaggio 7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{k \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Passaggio 7.2.2.2

Dividi $k$ per $1$ .

$k = \frac{- \ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$k = - \frac{\ln (125 x)}{2 \ln (x)} + \frac{3 \ln (5 x^{7})}{2 \ln (x)}$