Algebra Esempi

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{1}{x + 1}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1}$

Passaggio 2.3

Moltiplica $\frac{1}{x - 1}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $\frac{1}{x - 1}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

Passaggio 2.5

Riordina i fattori di $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 3.2

Combina i termini opposti in $x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1$ .

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{x^{2} + x + 0 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 3.2.2

Somma $x^{2} + x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + x + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 3.3

Somma $x$ e $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 4

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 4.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Passaggio 4.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 4.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5

Elimina il fattore comune di ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

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Passaggio 5.1

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x + 1}{x - 1}$