Algebra Esempi

$3^{x + 2} + 3^{1 - x} > 28$

Passaggio 1

Riscrivi $3^{x + 2}$ come $3^{x} \cdot 3^{2}$ .

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3^{1 - x} = 28$

Passaggio 2

Riscrivi $3^{1 - x}$ come $3^{1} \cdot 3^{- x}$ .

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{- x} = 28$

Passaggio 3

Riscrivi $3^{- x}$ come un elevamento a potenza.

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot {(3^{x})}^{- 1} = 28$

Passaggio 4

Sostituisci $u$ a $3^{x}$ .

$u \cdot 3^{2} + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$u \cdot 9 + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Passaggio 5.2

Sposta $9$ alla sinistra di $u$ .

$9 u + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

Passaggio 5.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 u + 3 \cdot \frac{1}{u} = 28$

Passaggio 5.4

$3$ e $\frac{1}{u}$ .

$9 u + \frac{3}{u} = 28$

Passaggio 6

Risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, u, 1$

Passaggio 6.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$u$

Passaggio 6.2

Moltiplica per $u$ ciascun termine in $9 u + \frac{3}{u} = 28$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica ogni termine in $9 u + \frac{3}{u} = 28$ per $u$ .

$9 u \cdot u + \frac{3}{u} u = 28 u$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Moltiplica $u$ per $u$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Sposta $u$ .

$9 (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 28 u$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Moltiplica $u$ per $u$ .

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Passaggio 6.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

Passaggio 6.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$9 u^{2} + 3 = 28 u$

Passaggio 6.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sottrai $28 u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 u^{2} + 3 - 28 u = 0$

Passaggio 6.3.2

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Riordina i termini.

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Passaggio 6.3.2.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ e la cui somma è $b = - 28$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Scomponi $- 28$ da $- 28 u$ .

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

Passaggio 6.3.2.2.2

Riscrivi $- 28$ come $- 1$ più $- 27$ .

$9 u^{2} + (- 1 - 27) u + 3 = 0$

Passaggio 6.3.2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

Passaggio 6.3.2.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(9 u^{2} - 1 u) - 27 u + 3 = 0$

Passaggio 6.3.2.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (9 u - 1) - 3 (9 u - 1) = 0$

Passaggio 6.3.2.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $9 u - 1$ .

$(9 u - 1) (u - 3) = 0$

Passaggio 6.3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$9 u - 1 = 0$

$u - 3 = 0$

Passaggio 6.3.4

Imposta $9 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.1

Imposta $9 u - 1$ uguale a $0$ .

$9 u - 1 = 0$

Passaggio 6.3.4.2

Risolvi $9 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 u = 1$

Passaggio 6.3.4.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 u = 1$ .

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Passaggio 6.3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

Passaggio 6.3.4.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{9}$

Passaggio 6.3.5

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.5.1

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

Passaggio 6.3.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 3$

Passaggio 6.3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(9 u - 1) (u - 3) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{9}, 3$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{1}{9}$ a $u$ in $u = 3^{x}$ .

$\frac{1}{9} = 3^{x}$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{1}{9} = 3^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi l'equazione come $3^{x} = \frac{1}{9}$ .

$3^{x} = \frac{1}{9}$

Passaggio 8.2

Eleva $9$ alla potenza di $1$ .

$3^{x} = \frac{1}{9^{1}}$

Passaggio 8.3

Sposta $9^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$3^{x} = 9^{- 1}$

Passaggio 8.4

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$3^{x} = 3^{- 2}$

Passaggio 8.5

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = - 2$

Passaggio 9

Sostituisci $3$ a $u$ in $u = 3^{x}$ .

$3 = 3^{x}$

Passaggio 10

Risolvi $3 = 3^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $3^{x} = 3$ .

$3^{x} = 3$

Passaggio 10.2

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$3^{x} = 3^{1}$

Passaggio 10.3

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = 1$

Passaggio 11

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = - 2, 1$

Passaggio 12

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 13

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 13.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$3^{(- 4) + 2} + 3^{1 - (- 4)} > 28$

Passaggio 13.1.3

Il lato sinistro di $243.\overline{1}$ è maggiore del lato destro di $28$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 13.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 13.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$3^{(0) + 2} + 3^{1 - (0)} > 28$

Passaggio 13.2.3

Il lato sinistro di $12$ non è maggiore del lato destro di $28$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 13.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 13.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$3^{(4) + 2} + 3^{1 - (4)} > 28$

Passaggio 13.3.3

Il lato sinistro di $729.\overline{037}$ è maggiore del lato destro di $28$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 13.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

$x < - 2$ Vero

$- 2 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Vero

Passaggio 14

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 2$ o $x > 1$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 2 or x > 1$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 2) \cup (1, \infty)$

Passaggio 16