Algebra Esempi

$| x - 2 | < \frac{8}{x}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{8}{x}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$| x - 2 | - \frac{8}{x} < 0$

Passaggio 2

Semplifica $| x - 2 | - \frac{8}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere $| x - 2 |$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{| x - 2 | x}{x} - \frac{8}{x} < 0$

Passaggio 2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{| x - 2 | x - 8}{x} < 0$

Passaggio 2.3

Riordina i fattori in $\frac{| x - 2 | x - 8}{x}$ .

$\frac{x | x - 2 | - 8}{x} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$x | x - 2 | - 8 = 0$

Passaggio 4

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x | x - 2 | = 8$

Passaggio 5

Dividi per $x$ ciascun termine in $x | x - 2 | = 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x | x - 2 | = 8$ .

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x | x - 2 |}{x} = \frac{8}{x}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $| x - 2 |$ per $1$ .

$| x - 2 | = \frac{8}{x}$

Passaggio 6

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$x - 2 = \pm \frac{8}{x}$

Passaggio 7

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x - 2 = \frac{8}{x}$

Passaggio 7.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{8}{x} + 2$

Passaggio 7.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 7.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 7.4

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $x = \frac{8}{x} + 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica ogni termine in $x = \frac{8}{x} + 2$ per $x$ .

$x \cdot x = \frac{8}{x} x + 2 x$

Passaggio 7.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Passaggio 7.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{8}{x} x + 2 x$

Passaggio 7.4.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = 8 + 2 x$

Passaggio 7.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x = 8$

Passaggio 7.5.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Passaggio 7.5.3

Scomponi $x^{2} - 2 x - 8$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 4, 2$

Passaggio 7.5.3.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 4) (x + 2) = 0$

Passaggio 7.5.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 7.5.5

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.5.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 7.5.5.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 7.5.6

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.6.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 7.5.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 7.5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 4) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 4, - 2$

Passaggio 7.6

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x - 2 = - \frac{8}{x}$

Passaggio 7.7

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = - \frac{8}{x} + 2$

Passaggio 7.8

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 7.8.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 7.9

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $x = - \frac{8}{x} + 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.1

Moltiplica ogni termine in $x = - \frac{8}{x} + 2$ per $x$ .

$x \cdot x = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Passaggio 7.9.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} = - \frac{8}{x} x + 2 x$

Passaggio 7.9.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.9.3.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{8}{x}$ nel numeratore.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Passaggio 7.9.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{- 8}{x} x + 2 x$

Passaggio 7.9.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = - 8 + 2 x$

Passaggio 7.10

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.1

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x = - 8$

Passaggio 7.10.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 2 x + 8 = 0$

Passaggio 7.10.3

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.10.4

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = 8$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 8)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.10.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.10.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.10.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 32}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.10.5.1.3

Sottrai $32$ da $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.10.5.1.4

Riscrivi $- 28$ come $- 1 (28)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.10.5.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (28)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.10.5.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{28}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.10.5.1.7

Riscrivi $28$ come $2^{2} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.10.5.1.7.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.10.5.1.7.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.10.5.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.10.5.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.10.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$

Passaggio 7.10.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{7}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{7}$

Passaggio 7.10.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Passaggio 7.11

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 4, - 2, 1 + i \sqrt{7}, 1 - i \sqrt{7}$

Passaggio 8

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = 4, - 2$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

$x = 0, 4, - 2$

Passaggio 10

Trova il dominio di $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta il denominatore in $\frac{x | x - 2 | - 8}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 10.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 11

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$| (- 4) - 2 | < \frac{8}{- 4}$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $6$ non è minore del lato destro di $- 2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 1$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $- 1$ nella diseguaglianza originale.

$| (- 1) - 2 | < \frac{8}{- 1}$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $3$ non è minore del lato destro di $- 8$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$| (2) - 2 | < \frac{8}{2}$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 12.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 12.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$| (6) - 2 | < \frac{8}{6}$

Passaggio 12.4.3

Il lato sinistro di $4$ non è minore del lato destro di $1.\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 12.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 < x < 4$

Passaggio 14

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$0 < x < 4$

Notazione degli intervalli:

$(0, 4)$

Passaggio 15