Algebra Esempi

${(1 + i)}^{5} {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 1

Usa il teorema binomiale.

$(1^{5} + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(1 + 5 \cdot 1^{4} i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(1 + 5 \cdot 1 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1^{3} i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(1 + 5 i + 10 \cdot 1 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.5

Moltiplica $10$ per $1$ .

$(1 + 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.6

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$(1 + 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.7

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.8

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(1 + 5 i - 10 + 10 \cdot 1 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.9

Moltiplica $10$ per $1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 i^{3} + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.10

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (i^{2} \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.11

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- 1 \cdot i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.12

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$(1 + 5 i - 10 + 10 (- i) + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.13

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.14

Moltiplica $5$ per $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 i^{4} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.15

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.15.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.15.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.15.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 \cdot 1 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.16

Moltiplica $5$ per $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{5}) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.17

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i^{4} i) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.18

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.18.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(i^{2})}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.18.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + {(- 1)}^{2} i) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.18.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + 1 i) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.1.19

Moltiplica $i$ per $1$ .

$(1 + 5 i - 10 - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sottrai $10$ da $1$ .

$(- 9 + 5 i - 10 i + 5 + i) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.2.2

Somma $- 9$ e $5$ .

$(- 4 + 5 i - 10 i + i) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.2.3

Sottrai $10 i$ da $5 i$ .

$(- 4 - 5 i + i) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 2.2.4

Somma $- 5 i$ e $i$ .

$(- 4 - 4 i) {(1 - i)}^{5}$

Passaggio 3

Usa il teorema binomiale.

$(- 4 - 4 i) (1^{5} + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1^{4} (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 \cdot 1 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 + 5 (- i) + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1^{3} {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot 1 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.6

Moltiplica $10$ per $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 {(- i)}^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.7

Applica la regola del prodotto a $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 (1 i^{2}) + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.9

Moltiplica $i^{2}$ per $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 i^{2} + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.10

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i + 10 \cdot - 1 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.11

Moltiplica $10$ per $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1^{2} {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.12

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 \cdot 1 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.13

Moltiplica $10$ per $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 {(- i)}^{3} + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.14

Applica la regola del prodotto a $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 ({(- 1)}^{3} i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.15

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- i^{3}) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.16

Metti in evidenza $i^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (i^{2} \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.17

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- (- 1 \cdot i)) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.18

Riscrivi $- 1 i$ come $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (- - i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.19

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 (1 i) + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.20

Moltiplica $i$ per $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.21

Moltiplica $5$ per $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- i)}^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.22

Applica la regola del prodotto a $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 ({(- 1)}^{4} i^{4}) + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.23

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 (1 i^{4}) + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.24

Moltiplica $i^{4}$ per $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 i^{4} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.25

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.25.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(i^{2})}^{2} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.25.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 {(- 1)}^{2} + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.25.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 \cdot 1 + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.26

Moltiplica $5$ per $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- i)}^{5})$

Passaggio 4.1.27

Applica la regola del prodotto a $- i$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 + {(- 1)}^{5} i^{5})$

Passaggio 4.1.28

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i^{5})$

Passaggio 4.1.29

Metti in evidenza $i^{4}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (i^{4} i))$

Passaggio 4.1.30

Riscrivi $i^{4}$ come $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.30.1

Riscrivi $i^{4}$ come ${(i^{2})}^{2}$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(i^{2})}^{2} i))$

Passaggio 4.1.30.2

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - ({(- 1)}^{2} i))$

Passaggio 4.1.30.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - (1 i))$

Passaggio 4.1.31

Moltiplica $i$ per $1$ .

$(- 4 - 4 i) (1 - 5 i - 10 + 10 i + 5 - i)$

Passaggio 4.2

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $10$ da $1$ .

$(- 4 - 4 i) (- 9 - 5 i + 10 i + 5 - i)$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 9$ e $5$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 - 5 i + 10 i - i)$

Passaggio 4.2.3

Somma $- 5 i$ e $10 i$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 5 i - i)$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $i$ da $5 i$ .

$(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$

Passaggio 5

Espandi $(- 4 - 4 i) (- 4 + 4 i)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 (- 4 + 4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i (- 4 + 4 i)$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 4 \cdot - 4 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Passaggio 6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$16 - 4 (4 i) - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$16 - 16 i - 4 i \cdot - 4 - 4 i (4 i)$

Passaggio 6.1.3

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$16 - 16 i + 16 i - 4 i (4 i)$

Passaggio 6.1.4

Moltiplica $- 4 i (4 i)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Moltiplica $4$ per $- 4$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 i i$

Passaggio 6.1.4.2

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i)$

Passaggio 6.1.4.3

Eleva $i$ alla potenza di $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 (i^{1} i^{1})$

Passaggio 6.1.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{1 + 1}$

Passaggio 6.1.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 i^{2}$

Passaggio 6.1.5

Riscrivi $i^{2}$ come $- 1$ .

$16 - 16 i + 16 i - 16 \cdot - 1$

Passaggio 6.1.6

Moltiplica $- 16$ per $- 1$ .

$16 - 16 i + 16 i + 16$

Passaggio 6.2

Somma $16$ e $16$ .

$32 - 16 i + 16 i$

Passaggio 6.3

Somma $- 16 i$ e $16 i$ .

$32 + 0$

Passaggio 6.4

Somma $32$ e $0$ .

$32$