Algebra Esempi

$f (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$

Passaggio 1

Imposta $- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ uguale a $0$ .

$- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Raggruppa i termini.

$- x^{3} + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $- 1$ da $- x^{3} + 125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Riscrivi $125$ come $- 1 (- 125)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3}) - 1 (- 125)$ .

$- (x^{3} - 125) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $125$ come $5^{3}$ .

$- (x^{3} - 5^{3}) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Passaggio 2.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1.1

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Passaggio 2.1.5.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

Passaggio 2.1.6

Scomponi $15 x$ da $15 x^{2} - 75 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.6.1

Scomponi $15 x$ da $15 x^{2}$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) - 75 x = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Scomponi $15 x$ da $- 75 x$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) + 15 x (- 5) = 0$

Passaggio 2.1.6.3

Scomponi $15 x$ da $15 x (x) + 15 x (- 5)$ .

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.7

Scomponi $x - 5$ da $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.7.1

Scomponi $x - 5$ da $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.7.2

Scomponi $x - 5$ da $15 x (x - 5)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x) = 0$

Passaggio 2.1.7.3

Scomponi $x - 5$ da $(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x)$ .

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x) = 0$

Passaggio 2.1.8

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 5) (- 1 x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Passaggio 2.1.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.9.1

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Passaggio 2.1.9.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

Passaggio 2.1.9.3

Moltiplica $- 1$ per $25$ .

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 25 + 15 x) = 0$

Passaggio 2.1.10

Somma $- 5 x$ e $15 x$ .

$(x - 5) (- x^{2} + 10 x - 25) = 0$

Passaggio 2.1.11

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ e la cui somma è $b = 10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1.1.1

Scomponi $10$ da $10 x$ .

$(x - 5) (- x^{2} + 10 (x) - 25) = 0$

Passaggio 2.1.11.1.1.2

Riscrivi $10$ come $5$ più $5$ .

$(x - 5) (- x^{2} + (5 + 5) x - 25) = 0$

Passaggio 2.1.11.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$(x - 5) (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25) = 0$

Passaggio 2.1.11.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.11.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x - 5) ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25) = 0$

Passaggio 2.1.11.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$(x - 5) (x (- x + 5) - 5 (- x + 5)) = 0$

Passaggio 2.1.11.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- x + 5$ .

$(x - 5) ((- x + 5) (x - 5)) = 0$

Passaggio 2.1.11.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.12.1

Scomponi $- 1$ da $x$ .

$(- 1 (- x) - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.2

Riscrivi $- 5$ come $- 1 (5)$ .

$(- 1 (- x) - 1 \cdot 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.3

Scomponi $- 1$ da $- 1 (- x) - 1 (5)$ .

$- 1 (- x + 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.4

Eleva $- x + 5$ alla potenza di $1$ .

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.5

Eleva $- x + 5$ alla potenza di $1$ .

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 {(- x + 5)}^{1 + 1} (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.7

Somma $1$ e $1$ .

$- 1 {(- x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.8

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$- 1 {(- (x) + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.9

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$- 1 {(- (x) - 1 \cdot - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.10

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 5)$ .

$- 1 {(- (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.11

Riscrivi $- (x - 5)$ come $- 1 (x - 5)$ .

$- 1 {(- 1 (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.12

Applica la regola del prodotto a $- 1 (x - 5)$ .

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.13

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 1 (1 {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.14

Moltiplica ${(x - 5)}^{2}$ per $1$ .

$- 1 {(x - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Passaggio 2.1.12.15

Eleva $x - 5$ alla potenza di $1$ .

$- 1 ((x - 5) {(x - 5)}^{2}) = 0$

Passaggio 2.1.12.16

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 1 {(x - 5)}^{1 + 2} = 0$

Passaggio 2.1.12.17

Somma $1$ e $2$ .

$- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$

Passaggio 2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ .

$\frac{- 1 {(x - 5)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{{(x - 5)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Dividi ${(x - 5)}^{3}$ per $1$ .

${(x - 5)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

${(x - 5)}^{3} = 0$

Passaggio 2.3

Poni $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.4

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$ (Molteplicità di $3$ )

Passaggio 3