Algebra Esempi

$\log_{3} (2 x^{2} + 7) - \log_{3} (3 x + 6) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 7}{3 x + 6}) = 1$

Passaggio 1.2

Scomponi $3$ da $3 x + 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 7}{3 (x) + 6}) = 1$

Passaggio 1.2.2

Scomponi $3$ da $6$ .

$\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 7}{3 x + 3 \cdot 2}) = 1$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $3$ da $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 7}{3 (x + 2)}) = 1$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{3} (\frac{2 x^{2} + 7}{3 (x + 2)}) = 1$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{2 x^{2} + 7}{3 (x + 2)}$

Passaggio 3

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$2 x^{2} + 7 = 3 (3 (x + 2))$

Passaggio 4

Semplifica $3 (3 (x + 2))$ .

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 7 = 3 (3 x + 3 \cdot 2)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 x^{2} + 7 = 3 (3 x + 6)$

Passaggio 4.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 7 = 3 (3 x) + 3 \cdot 6$

Passaggio 4.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$2 x^{2} + 7 = 9 x + 3 \cdot 6$

Passaggio 4.4.2

Moltiplica $3$ per $6$ .

$2 x^{2} + 7 = 9 x + 18$

Passaggio 5

Sottrai $9 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} + 7 - 9 x = 18$

Passaggio 6

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 6.1

Riordina i termini.

$2 x^{2} - 9 x + 7 = 18$

Passaggio 6.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot 7 = 14$ e la cui somma è $b = - 9$ .

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Passaggio 6.2.1

Scomponi $- 9$ da $- 9 x$ .

$2 x^{2} - 9 x + 7 = 18$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi $- 9$ come $- 2$ più $- 7$ .

$2 x^{2} + (- 2 - 7) x + 7 = 18$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} - 2 x - 7 x + 7 = 18$

Passaggio 6.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 6.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} - 2 x) - 7 x + 7 = 18$

Passaggio 6.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 x (x - 1) - 7 (x - 1) = 18$

Passaggio 6.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 1$ .

$(x - 1) (2 x - 7) = 18$

Passaggio 7

Semplifica $(x - 1) (2 x - 7)$ .

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Passaggio 7.1

Espandi $(x - 1) (2 x - 7)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x - 7) - 1 (2 x - 7) = 18$

Passaggio 7.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 7 - 1 (2 x - 7) = 18$

Passaggio 7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x (2 x) + x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 18$

Passaggio 7.2

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 x \cdot x + x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 18$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 7.2.1.2.1

Sposta $x$ .

$2 (x \cdot x) + x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 18$

Passaggio 7.2.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$2 x^{2} + x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 18$

Passaggio 7.2.1.3

Sposta $- 7$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{2} - 7 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 18$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 x^{2} - 7 x - 2 x - 1 \cdot - 7 = 18$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$2 x^{2} - 7 x - 2 x + 7 = 18$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $2 x$ da $- 7 x$ .

$2 x^{2} - 9 x + 7 = 18$

Passaggio 8

Sottrai $18$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} - 9 x + 7 - 18 = 0$

Passaggio 9

Sottrai $18$ da $7$ .

$2 x^{2} - 9 x - 11 = 0$

Passaggio 10

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 10.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 11 = - 22$ e la cui somma è $b = - 9$ .

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Passaggio 10.1.1

Scomponi $- 9$ da $- 9 x$ .

$2 x^{2} - 9 x - 11 = 0$

Passaggio 10.1.2

Riscrivi $- 9$ come $2$ più $- 11$ .

$2 x^{2} + (2 - 11) x - 11 = 0$

Passaggio 10.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} + 2 x - 11 x - 11 = 0$

Passaggio 10.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{2} + 2 x) - 11 x - 11 = 0$

Passaggio 10.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 x (x + 1) - 11 (x + 1) = 0$

Passaggio 10.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 1$ .

$(x + 1) (2 x - 11) = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 11 = 0$

Passaggio 12

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 12.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 13

Imposta $2 x - 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $2 x - 11$ uguale a $0$ .

$2 x - 11 = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi $2 x - 11 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 13.2.1

Somma $11$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 11$

Passaggio 13.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 11$ e semplifica.

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Passaggio 13.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 11$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

Passaggio 13.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 13.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 13.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

Passaggio 13.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{11}{2}$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (2 x - 11) = 0$ vera.

$x = - 1, \frac{11}{2}$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = - 1, \frac{11}{2}$

Forma decimale:

$x = - 1, 5.5$

Forma numero misto:

$x = - 1, 5 \frac{1}{2}$