Algebra Esempi

$\sqrt{y + \sqrt{y + 2}} = 6$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y + \sqrt{y + 2}}}^{2} = 6^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y + \sqrt{y + 2}}$ come ${(y + \sqrt{y + 2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + \sqrt{y + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(y + \sqrt{y + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y + \sqrt{y + 2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + \sqrt{y + 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y + \sqrt{y + 2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + \sqrt{y + 2})}^{1} = 6^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$y + \sqrt{y + 2} = 6^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$y + \sqrt{y + 2} = 36$

Passaggio 3

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{y + 2} = 36 - y$

Passaggio 4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{y + 2}}^{2} = {(36 - y)}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y + 2}$ come ${(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(36 - y)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(36 - y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(36 - y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(y + 2)}^{1} = {(36 - y)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Semplifica.

$y + 2 = {(36 - y)}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ${(36 - y)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi ${(36 - y)}^{2}$ come $(36 - y) (36 - y)$ .

$y + 2 = (36 - y) (36 - y)$

Passaggio 5.3.1.2

Espandi $(36 - y) (36 - y)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y + 2 = 36 (36 - y) - y (36 - y)$

Passaggio 5.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y + 2 = 36 \cdot 36 + 36 (- y) - y (36 - y)$

Passaggio 5.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y + 2 = 36 \cdot 36 + 36 (- y) - y \cdot 36 - y (- y)$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.3.1.1

Moltiplica $36$ per $36$ .

$y + 2 = 1296 + 36 (- y) - y \cdot 36 - y (- y)$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $36$ .

$y + 2 = 1296 - 36 y - y \cdot 36 - y (- y)$

Passaggio 5.3.1.3.1.3

Moltiplica $36$ per $- 1$ .

$y + 2 = 1296 - 36 y - 36 y - y (- y)$

Passaggio 5.3.1.3.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$y + 2 = 1296 - 36 y - 36 y - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

Passaggio 5.3.1.3.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.3.1.3.1.5.1

Sposta $y$ .

$y + 2 = 1296 - 36 y - 36 y - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

Passaggio 5.3.1.3.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y + 2 = 1296 - 36 y - 36 y - 1 \cdot - 1 y^{2}$

Passaggio 5.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y + 2 = 1296 - 36 y - 36 y + 1 y^{2}$

Passaggio 5.3.1.3.1.7

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y + 2 = 1296 - 36 y - 36 y + y^{2}$

Passaggio 5.3.1.3.2

Sottrai $36 y$ da $- 36 y$ .

$y + 2 = 1296 - 72 y + y^{2}$

Passaggio 6

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $y$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$1296 - 72 y + y^{2} = y + 2$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini contenenti $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 6.2.1

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$1296 - 72 y + y^{2} - y = 2$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $y$ da $- 72 y$ .

$1296 + y^{2} - 73 y = 2$

Passaggio 6.3

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$1296 + y^{2} - 73 y - 2 = 0$

Passaggio 6.3.2

Sottrai $2$ da $1296$ .

$y^{2} - 73 y + 1294 = 0$

Passaggio 6.4

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 73$ e $c = 1294$ nella formula quadratica e risolvi per $y$ .

$\frac{73 \pm \sqrt{{(- 73)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1294)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6

Semplifica.

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Passaggio 6.6.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.6.1.1

Eleva $- 73$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{73 \pm \sqrt{5329 - 4 \cdot 1 \cdot 1294}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1294$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$y = \frac{73 \pm \sqrt{5329 - 4 \cdot 1294}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1294$ .

$y = \frac{73 \pm \sqrt{5329 - 5176}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.3

Sottrai $5176$ da $5329$ .

$y = \frac{73 \pm \sqrt{153}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.4

Riscrivi $153$ come $3^{2} \cdot 17$ .

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Passaggio 6.6.1.4.1

Scomponi $9$ da $153$ .

$y = \frac{73 \pm \sqrt{9 (17)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$y = \frac{73 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$y = \frac{73 \pm 3 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y = \frac{73 \pm 3 \sqrt{17}}{2}$

Passaggio 6.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$y = \frac{73 + 3 \sqrt{17}}{2}, \frac{73 - 3 \sqrt{17}}{2}$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{y + \sqrt{y + 2}} = 6$ vera.

$y = \frac{73 - 3 \sqrt{17}}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$y = \frac{73 - 3 \sqrt{17}}{2}$

Forma decimale:

$y = 30.31534156 \dots$